Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u = <1, −1, 4> e v = ❤️, 2, −2>
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tá na área de álgebra vetorial. A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, aos vetores u = ⟨1, −1, 4⟩ e v = ⟨3, 2, −2⟩. Para isso, a gente vai usar o produto vetorial, que ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional. Se a gente tem dois vetores a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ e b = ⟨b₁, b₂, b₃⟩, o produto vetorial a × b é dado por:
Isso vai nos dar um vetor que é perpendicular a ambos a e b.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula aos vetores u e v dados no problema.
u = ⟨1, −1, 4⟩, então:
- u₁ = 1
- u₂ = -1
- u₃ = 4
v = ⟨3, 2, −2⟩, então:
- v₁ = 3
- v₂ = 2
- v₃ = -2
Passo 4
Vamos calcular cada componente do produto vetorial u × v:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Resposta
O vetor que é ortogonal a ambos u e v é w = ⟨-6, 14, 5⟩.