Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u = <1, −1, 4> e v = ❤️, 2, −2>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tá na área de álgebra vetorial. A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, aos vetores u = ⟨1, −1, 4⟩ e v = ⟨3, 2, −2⟩. Para isso, a gente vai usar o produto vetorial, que ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional. Se a gente tem dois vetores a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ e b = ⟨b₁, b₂, b₃⟩, o produto vetorial a × b é dado por:
a times b = lang<= a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 rang<=
Isso vai nos dar um vetor que é perpendicular a ambos a e b.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos vetores u e v dados no problema.
u = ⟨1, −1, 4⟩, então:
  • u₁ = 1
  • u₂ = -1
  • u₃ = 4
v = ⟨3, 2, −2⟩, então:
  • v₁ = 3
  • v₂ = 2
  • v₃ = -2

Passo 4

Vamos calcular cada componente do produto vetorial u × v:
  1. Primeira componente:
u2v3 - u3v2 = (-1) times (-2) - 4 times 2 = 2 - 8 = -6
  1. Segunda componente:
u3v1 - u1v3 = 4 times 3 - 1 times (-2) = 12 + 2 = 14
  1. Terceira componente:
u1v2 - u2v1 = 1 times 2 - (-1) times 3 = 2 + 3 = 5

Resposta

O vetor que é ortogonal a ambos u e v é w = ⟨-6, 14, 5⟩.

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