Sejam f, g:[0,3] \rightarrow \mathbb{R} funções tais que, \int_{0}^{3} f(x) d x=4 \mathrm{e} \int_{0}^{3} g(x) d x=0. Então, o valor de \int_{0}^{3}(3 \cdot f(x)+2 \cdot g(x)-1) d x é dado por:

Passo 1

O enunciado dá duas funções f e g em [0,3] com
\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 4
e
\int_{0}^{3} g(x)\,dx = 0,
e pede o valor de \displaystyle \int_{0}^{3} \bigl(3\,f(x) + 2\,g(x) - 1\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade da integral definida.

Passo 2

Pela linearidade da integral, temos
\int_{0}^{3} \bigl(3\,f(x) + 2\,g(x) - 1\bigr)\,dx = 3 \int_{0}^{3} f(x)\,dx + 2 \int_{0}^{3} g(x)\,dx - \int_{0}^{3} 1\,dx.

Passo 3

Calculemos cada termo:
  • 3\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 3 \times 4 = 12.
  • 2\int_{0}^{3} g(x)\,dx = 2 \times 0 = 0.
  • \displaystyle \int_{0}^{3} 1\,dx = 3, pois é a área do retângulo de altura 1 e base 3.

Passo 4

Somando os resultados:
12 + 0 - 3 = 9.

Resposta

9

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