Calcular .

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaA(x^2+y^2+z^2)^3/2,dx,dy,dz sobre a região A definida por
0<= z, x^2+y^2+z^2<=1 e x^2+y^2<= z^2. Isso envolve mudança para coordenadas esféricas.

Passo 2

Para usar coordenadas esféricas, lembramos que:
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
e o elemento de volume é
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 3

Na região A temos as condições em esféricas:
  • 0<= r<=1 pela bola unitária;
  • z>=0 0<=phi<=pi/2;
  • x^2+y^2<= z^2 tanphi<=1 logo phi<=pi/4;
  • theta varia de 0 até 2pi.

Passo 4

O integrando fica:
(x^2+y^2+z^2)^3/2 = r^3,
então a integral vira
integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^1 r^3cdot r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 5

Calculando a integral em r:
integral0^1 r^5,dr = 16

Passo 6

Agora calculamos as integrais em phi e em theta:
integral0^pi/4 sinphi,dphi = 1 - cosl(tfracpi4r) = 1 - tfracraiz22,
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Multiplicando tudo, obtemos
16timesl(1 - tfracraiz22r)times2pi = pi3l(1 - tfracraiz22r)

Resposta

pi3l(1 - tfracraiz22r)

Exercícios relacionados