Calcular
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral tripla
sobre a região
definida por
,
e
. Isso envolve mudança para coordenadas esféricas.
Passo 2
Para usar coordenadas esféricas, lembramos que:
e o elemento de volume é
Passo 3
Na região
temos as condições em esféricas:
-
pela bola unitária; -
dá ; -
dá logo ; -
varia de até .
Passo 4
O integrando fica:
então a integral vira
Passo 5
Calculando a integral em
:
Passo 6
Agora calculamos as integrais em
e em
:
Passo 7
Multiplicando tudo, obtemos