Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere F, G campos vetoriais suaves e f uma função suave definidos no espaço R^3.
rot(nabla f)=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação rot(nabla f)=0 em R^3, onde f é função suave. O assunto é cálculo vetorial e vamos precisar das definições de gradiente, rotacional e do Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas).

Passo 2

O gradiente de f é definido por
nabla f = l(partial fpartial x,;partial fpartial y,;partial fpartial zr)
O rotacional de um campo vetorial vec F=(Fx,Fy,Fz) é
rot,vec F = l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,;partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,;partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)

Passo 3

Aplicando ao campo vec F=nabla f, o primeiro componente do rotacional fica
(rot(nabla f))x = partialpartial yl(partial fpartial zr) - partialpartial zl(partial fpartial yr) = partial^2 fpartial ypartial z - partial^2 fpartial zpartial y
De forma análoga, os componentes (rot(nabla f))y e (rot(nabla f))z também viram diferenças de derivadas parciais mistas trocadas.

Passo 4

Como f é suave, as derivadas parciais de segunda ordem comutam (Teorema de Schwarz), ou seja, partial^2 fpartial ypartial z=partial^2 fpartial zpartial y etc. Logo cada componente de rot(nabla f) vale zero, e concluímos que
rot(nabla f)=vec0

Resposta

Verdadeiro

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