Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere
campos vetoriais suaves e
uma função suave definidos no espaço
.
.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação
em
, onde
é função suave. O assunto é cálculo vetorial e vamos precisar das definições de gradiente, rotacional e do Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas).
Passo 2
O gradiente de
é definido por
O rotacional de um campo vetorial
é
Passo 3
Aplicando ao campo
, o primeiro componente do rotacional fica
De forma análoga, os componentes
e
também viram diferenças de derivadas parciais mistas trocadas.
Passo 4
Como
é suave, as derivadas parciais de segunda ordem comutam (Teorema de Schwarz), ou seja,
etc. Logo cada componente de
vale zero, e concluímos que
Resposta
Verdadeiro