Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo:
Região limitada pelas curvas y=x^2-2 x e y=-x^2+4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico e calcular a área da região comum às curvas y=x^2-2x e y=-x^2+4. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas usando integração, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, ver qual curva está acima e montar a integral da diferença.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos x^2-2x = -x^2+4. Passo a passo:
– Somamos x^2 aos dois lados: 2x^2 - 2x = 4.
– Dividimos por 2: x^2 - x = 2.
– Passamos 2 para o lado esquerdo: x^2 - x - 2 = 0.
– Resolvendo a equação do 2º grau, x = 1pmraiz1+82 = 1pm32, ou seja, x=-1 e x=2.
Assim os pontos de interseção são (-1,3) e (2,0).

Passo 3

Precisamos ver qual curva fica por cima no intervalo [-1,2]. Por exemplo, em x=0, temos y1=0^2-0=0 e y2=-0+4=4, logo y=-x^2+4 está acima de y=x^2-2x.

Passo 4

Montamos então a integral da diferença entre a curva superior e a inferior:
Área = integral-1^2l[(-x^2+4)-(x^2-2x)r],dx = integral-1^2(-2x^2+2x+4),dx Á

Passo 5

Calculamos uma primitiva de -2x^2+2x+4:
F(x) = integral(-2x^2+2x+4),dx = -tfrac2x^33 + x^2 + 4x

Passo 6

Aplicamos os limites de -1 a 2:
F(2) = -tfrac2cdot83 + 4 + 8 = -tfrac163 + 12 = tfrac203,
F(-1) = -tfrac2(-1)^33 + 1 -4 = tfrac23 -3 = -tfrac73

Passo 7

Logo a área é
Área = F(2) - F(-1) = tfrac203 - l(-tfrac73r) = tfrac273 = 9 Á

Resposta

A área da região limitada pelas duas curvas é 9 unidades².

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