Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo:
Região limitada pelas curvas
Região limitada pelas curvas
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico e calcular a área da região comum às curvas
e
. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas usando integração, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, ver qual curva está acima e montar a integral da diferença.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos
. Passo a passo:
– Somamos aos dois lados:
.
– Dividimos por 2: .
– Passamos 2 para o lado esquerdo: .
– Resolvendo a equação do 2º grau, , ou seja,
e
.
Assim os pontos de interseção são e
.
– Somamos
– Dividimos por 2:
– Passamos 2 para o lado esquerdo:
– Resolvendo a equação do 2º grau,
Assim os pontos de interseção são
Passo 3
Precisamos ver qual curva fica por cima no intervalo
. Por exemplo, em
, temos
e
, logo
está acima de
.
Passo 4
Montamos então a integral da diferença entre a curva superior e a inferior:
Passo 5
Calculamos uma primitiva de
:
Passo 6
Aplicamos os limites de
a
:
Passo 7
Logo a área é
Resposta
A área da região limitada pelas duas curvas é 9 unidades².