Seja C a curva obtida como interseção das superficies x+y^2+3 z=4 e x=z tal que 0 <= y <= 1.
Calcular integralC y d s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC y,ds, onde C é a curva formada pela interseção das superfícies x+y^2+3z=4 e x=z, com 0<= y<=1. O conteúdo envolvido é parametrização de curva em R^3 e o cálculo do elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Como x=z, substituímos na outra equação: x+y^2+3z=4 vira x+y^2+3x=4, ou seja 4x+y^2=4. Portanto
x=1-y^24, z=x=1-y^24

Passo 3

Dessa forma, parametrizamos C por yin[0,1] como
r(y)=l(1-tfracy^24,,y,,1-tfracy^24r)

Passo 4

Calculamos a derivada
r'(y)=l(-tfracy2,,1,,-tfracy2r) e | r'(y)|=raizl(-tfracy2r)^2+1^2+l(-tfracy2r)^2 =raiz1+tfracy^22=raizy^2+2raiz2

Passo 5

A integral fica
integralCy,ds=integral0^1ycdotraizy^2+2raiz2,dy=1raiz2integral0^1yraizy^2+2,dy

Passo 6

Usando u=y^2+2, du=2y,dy, limites de u: de 2 a 3, obtemos
1raiz2integral0^1yraizy^2+2,dy =12raiz2integral2^3u^1/2,du =12raiz2cdot23l[u^3/2r]2^3 =13raiz2l(3^3/2-2^3/2r)

Passo 7

Bastando simplificar, vemos que
3^3/2=3raiz3, 2^3/2=2raiz2 Longrightarrow 3raiz3-2raiz23raiz2 =3raiz6-46

Resposta

3raiz6-46

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