Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere
campos vetoriais suaves e
uma função suave definidos no espaço
.
.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere
Passo 1
O enunciado pede para classificar a identidade
. O conteúdo é cálculo vetorial em
, e vamos precisar da definição de rotacional em componentes e da notação de Levi-Civita para derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando que, em notação de índices e com o símbolo de Levi-Civita
, o rotacional de um campo vetorial
tem componentes
vamos aplicar isso ao campo
.
Passo 3
Calculamos cada componente de
usando a regra do produto para derivadas:
Passo 4
Agora separamos em dois termos:
O primeiro termo é exatamente a componente
de
e o segundo termo é
vezes a componente
de
.
Passo 5
Portanto concluímos a igualdade vetorial
mostrando que a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro