Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Nos itens abaixo classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo. Considere F, G campos vetoriais suaves e f uma função suave definidos no espaço R^3.
rot(f G)=nabla f times G+frot(G).

Passo 1

O enunciado pede para classificar a identidade rot(f,G)=nabla ftimes G+f,rot(G). O conteúdo é cálculo vetorial em R^3, e vamos precisar da definição de rotacional em componentes e da notação de Levi-Civita para derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que, em notação de índices e com o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk, o rotacional de um campo vetorial V tem componentes
(rot,V)i=varepsilonijk,partialjVk
vamos aplicar isso ao campo fG.

Passo 3

Calculamos cada componente de rot(fG) usando a regra do produto para derivadas:
(rot(fG))i =varepsilonijk,partialj(f,Gk) =varepsilonijkl((partialjf),Gk+f,partialjGkr)

Passo 4

Agora separamos em dois termos:
(rot(fG))i =varepsilonijk(partialjf)Gk +f,varepsilonijk,partialjGk
O primeiro termo é exatamente a componente i de nabla ftimes G e o segundo termo é f vezes a componente i de rot(G).

Passo 5

Portanto concluímos a igualdade vetorial
rot(fG)=nabla ftimes G+f,rot(G),
mostrando que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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