(ccc1 & 2 & -1 2 & 0 & 1 1 & -2 & 2)
a) Calcular N(T) e dim N(T).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o núcleo N(T) e a sua dimensão dim N(T) para a transformação linear TcolonR^3toR^3 dada pela matriz
A = 1 & 2 & -1 [6pt] 2 & 0 & 1 [6pt] 1 & -2 & 2
O conteúdo é solução de sistema homogêneo Ax=0 por eliminação de Gauss.]

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em
Subtraindo vezes a linha da linha e subtraindo a linha da linha , obtemos
Depois, zeramos a linha subtraindo a linha :
]

Passo 3

Das duas equações não-triviais:
x1 + 2x2 - x3 = 0,[4pt] -4x2 + 3x3 = 0,
vemos que x3 é parâmetro livre, digamos x3 = t. Da segunda equação
-4x2 + 3t = 0 Longrightarrow x2 = 34,t
Substituindo na primeira,
x1 + 2l(tfrac34tr) - t = 0 Longrightarrow x1 = -12,t ]

Passo 4

Em forma paramétrica,
x = (x1,x2,x3) = l(-tfrac12,t,;tfrac34,t,;tr) = tl(-tfrac12,tfrac34,1r)
Para evitar frações, definimos s=4t, obtendo
x = s(-2,3,4), sinR
Logo
N(T) = ls(-2,3,4)mid sinRr,
e como só há um parâmetro livre, dim N(T)=1.

Resposta

N(T)=span(-2,3,4), dim N(T)=1.

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