Os três planos x1+2 x2+x3=4, x2-x3=1 e x1+3 x2=0 têm pelo menos um ponto em comum? Explique.

Passo 1

O enunciado dá três planos em
Isso é um sistema de três equações lineares com três incógnitas ((x_1,x_2,x_3)]. Para verificar se há interseção comum, basta checar se esse sistema é consistente.

Passo 2

Da terceira equação isolamos (x1):
x1+3x2=0 Longrightarrow x1=-3x2

Passo 3

Da segunda equação isolamos (x3):
x2-x3=1 Longrightarrow x3=x2-1

Passo 4

Substituímos (x1=-3x2) e (x3=x2-1) na primeira equação:
x1+2x2+x3=4 Longrightarrow (-3x2)+2x2+(x2-1)=4
O lado esquerdo simplifica-se a
-3x2+2x2+x2-1 = ( -3+2+1 )x2-1 = 0cdot x2-1 = -1,
logo a equação fica
-1 = 4,
que é uma contradição.

Passo 5

Como ao substituir obtemos uma igualdade impossível ( -1=4), o sistema é inconsistente e não admite solução.

Resposta

Não existe ponto comum aos três planos.

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