Mostre que a função f(x)=e^{x} é contínua. Dica: Use a continuidade da função exponencial em 0 e a igualdade e^{x}-e^{x_{0}}=e^{x_{0}}\left(e^{x-x_{0}}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=e^x
é contínua em todo x_0\in\mathbb{R}. Vamos usar a definição de continuidade (mostrar que \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)), a continuidade já conhecida de e^t em t=0 e a identidade sugerida:
e^{x}-e^{x_{0}}=e^{x_{0}}\bigl(e^{x-x_{0}}-1\bigr).

Passo 2

Fixe um ponto x_0\in\mathbb{R}. Considere a diferença
f(x)-f(x_0)=e^x - e^{x_0}
e aplique a identidade dada:
e^x - e^{x_0}=e^{x_0}\bigl(e^{x-x_0}-1\bigr).

Passo 3

Agora calcule o limite dessa diferença quando x\to x_0:
\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) =\lim_{x\to x_0}e^{x_0}\bigl(e^{x-x_0}-1\bigr) =e^{x_0}\,\lim_{x\to x_0}\bigl(e^{x-x_0}-1\bigr).

Passo 4

Como x\to x_0 implica x-x_0\to0 e sabemos que a exponencial é contínua em 0, temos
\lim_{t\to0}\bigl(e^t-1\bigr)=0.
Logo
\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) =e^{x_0}\cdot 0=0,
o que mostra que
\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Resposta

A função f(x)=e^x é contínua em todo x_0\in\mathbb{R}.

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