Calcule os limites se existirem. Justifique sua resposta usando a definição de limite ou algum outro resultado equivalente.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{x}{(1-x)^{2}}
e queremos verificar se esse limite é finito ou cresce sem limite. Vamos usar conceitos de limites infinitos e uma justificativa pela definição de limite que tende a +\infty.

Passo 2

Note que para todo x\neq1 vale (1-x)^{2}>0, logo
\frac{x}{(1-x)^{2}}>0.
Além disso \lim_{x\to1}x=1, de modo que, à medida que x se aproxima de 1, o numerador fica próximo de 1 enquanto o denominador (1-x)^{2} tende a 0. Assim o quociente cresce indefinidamente, sugerindo um limite igual a +\infty.

Passo 3

Para uma justificativa rigorosa pela definição de limite infinito, seja dado M>0. Queremos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, tenha-se
\frac{x}{(1-x)^{2}}>M.
Se escolhermos \delta\le\tfrac12, então |x-1|<\delta implica |x|>1/2. Dessa forma, para 0<|x-1|<\delta,
\frac{x}{(1-x)^{2}}\ge\frac{|x|}{(1-x)^{2}}>\frac{\tfrac12}{(1-x)^{2}}.
Para garantir \tfrac{\tfrac12}{(1-x)^{2}}>M basta exigir
(1-x)^{2}<\frac{1}{2M} \quad\Longleftrightarrow\quad |1-x|<\sqrt{\frac{1}{2M}}.
Então basta definir
\delta = \min\!\Bigl\{\tfrac12,\;\sqrt{\tfrac{1}{2M}}\Bigr\}.
Com essa escolha, sempre que 0<|x-1|<\delta teremos \frac{x}{(1-x)^{2}}>M. Isso mostra, pela definição de limite infinito, que
\lim_{x\to1}\frac{x}{(1-x)^{2}}=+\infty.

Resposta

\lim_{x\to1}\frac{x}{(1-x)^{2}}=+\infty.

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