Calcule os limites se existirem. Justifique sua resposta usando a definição de limite ou algum outro resultado equivalente.
.
Passo 1
O enunciado pede
e queremos verificar se esse limite é finito ou cresce sem limite. Vamos usar conceitos de limites infinitos e uma justificativa pela definição de limite que tende a
.
Passo 2
Note que para todo
vale
, logo
Além disso
, de modo que, à medida que
se aproxima de
, o numerador fica próximo de
enquanto o denominador
tende a
. Assim o quociente cresce indefinidamente, sugerindo um limite igual a
.
Passo 3
Para uma justificativa rigorosa pela definição de limite infinito, seja dado
. Queremos encontrar
tal que, sempre que
, tenha-se
Se escolhermos
, então
implica
. Dessa forma, para
,
Para garantir
basta exigir
Então basta definir
Com essa escolha, sempre que
teremos
. Isso mostra, pela definição de limite infinito, que