Determine o jacobiano da transformação.
x=5 u-v, \quad y=u+v

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação de variáveis
x = 5u - v,\qquad y = u + v
e pede o jacobiano dessa transformação, ou seja,
J = \det \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v e em seguida montar o determinante 2\times 2.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial u} = 5, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -1, \quad \frac{\partial y}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = 1.

Passo 3

Montar a matriz jacobiana e calcular o determinante:
J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 5 & -1 \\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 5 \cdot 1 - (-1) \cdot 1.
Logo,
J = 5 - (-1) = 6.

Resposta

O jacobiano da transformação é 6.

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