Calcular os ângulos diretores de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor
e pede os ângulos diretores, isto é, os ângulos entre
e os eixos coordenados
,
e
. Vou chamar esses ângulos de
(com o eixo
),
(com o eixo
) e
(com o eixo
). As informações relevantes são:
- Coordenadas de
: , , . - Pedir:
.
Passo 2
Definição que vamos usar (a ferramenta principal): o produto escalar relaciona ângulo e componentes. Para dois vetores
e
vale
onde
é o ângulo entre eles e
indica norma (módulo). Tomando como
o vetor unitário do eixo
,
, obtemos
Analogamente,
com
e
. Essa é a fórmula padrão para cossenos diretores.
Passo 3
Calcular a norma (módulo) de
. Pela definição,
Passo 4
Calcular os produtos escalares com os vetores unitários dos eixos (que simplesmente retornam as componentes):
Dividindo pela norma
obtemos os cossenos diretores:
Passo 5
Agora convertemos os cossenos em ângulos usando a função arco cosseno no intervalo principal
. Lembrando que
,
e
, obtemos
Comentário rápido: o sinal negativo em
indica que o ângulo com o eixo
é obtuso (maior que
), por isso
.
Passo 6
Verificação de consistência (identidade dos cossenos diretores): deve valer
Substituindo os valores encontrados:
logo os resultados estão consistentes.