Calcular os ângulos diretores de \vec{v}=(1,-1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \vec{v}=(1,-1,0) e pede os ângulos diretores, isto é, os ângulos entre \vec{v} e os eixos coordenados x, y e z. Vou chamar esses ângulos de \alpha (com o eixo x), \beta (com o eixo y) e \gamma (com o eixo z). As informações relevantes são:
  • Coordenadas de \vec{v}: v_x=1, v_y=-1, v_z=0.
  • Pedir: \alpha,\beta,\gamma.

Passo 2

Definição que vamos usar (a ferramenta principal): o produto escalar relaciona ângulo e componentes. Para dois vetores \vec{a} e \vec{b} vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles e \|\cdot\| indica norma (módulo). Tomando como \vec{b} o vetor unitário do eixo x, \hat{e}_x=(1,0,0), obtemos
\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\hat{e}_x}{\|\vec{v}\|}.
Analogamente,
\cos\beta=\frac{\vec{v}\cdot\hat{e}_y}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{\vec{v}\cdot\hat{e}_z}{\|\vec{v}\|},
com \hat{e}_y=(0,1,0) e \hat{e}_z=(0,0,1). Essa é a fórmula padrão para cossenos diretores.

Passo 3

Calcular a norma (módulo) de \vec{v}. Pela definição,
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular os produtos escalares com os vetores unitários dos eixos (que simplesmente retornam as componentes):
\vec{v}\cdot\hat{e}_x = v_x = 1,\qquad \vec{v}\cdot\hat{e}_y = v_y = -1,\qquad \vec{v}\cdot\hat{e}_z = v_z = 0.
Dividindo pela norma \sqrt{2} obtemos os cossenos diretores:
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \cos\beta=\frac{-1}{\sqrt{2}},\qquad \cos\gamma=\frac{0}{\sqrt{2}}=0.

Passo 5

Agora convertemos os cossenos em ângulos usando a função arco cosseno no intervalo principal [0,\pi]. Lembrando que \operatorname{arccos}(1/\sqrt{2})=\pi/4, \operatorname{arccos}(-1/\sqrt{2})=3\pi/4 e \operatorname{arccos}(0)=\pi/2, obtemos
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4}\quad(45^\circ),
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{3\pi}{4}\quad(135^\circ),
\gamma=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}\quad(90^\circ).
Comentário rápido: o sinal negativo em \cos\beta indica que o ângulo com o eixo y é obtuso (maior que 90^\circ), por isso \beta=135^\circ.

Passo 6

Verificação de consistência (identidade dos cossenos diretores): deve valer
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
Substituindo os valores encontrados:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+0^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=1,
logo os resultados estão consistentes.

Resposta

\alpha=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ
\beta=\dfrac{3\pi}{4}=135^\circ
\gamma=\dfrac{\pi}{2}=90^\circ

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