Sendo |\vec{u}|=2,|\vec{v}|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, calcular \vec{u} \cdot \vec{v} e |\vec{u}+\vec{v}|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados:
    • |\vec{u}|=2.
    • |\vec{v}|=3.
    • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 120^\circ.
  • Perguntas:
    1. Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.
    2. Calcular |\vec{u}+\vec{v}|.

Passo 2

Fórmula do produto escalar (dot product) em termos dos módulos e do ângulo: para dois vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
Explicando a fórmula com calma: o produto escalar mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro. Multiplica-se o comprimento de um pelo comprimento do outro e pelo cosseno do ângulo entre eles. Se \theta<90^\circ o cosseno é positivo (vetores têm componente na mesma direção); se \theta>90^\circ o cosseno é negativo (estão mais opostos).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao par \vec{u},\vec{v}. Substituindo |\vec{u}|=2, |\vec{v}|=3 e \theta=120^\circ:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 3\cdot \cos 120^\circ.
Calcule \cos 120^\circ. Como 120^\circ=180^\circ-60^\circ, tem-se \cos 120^\circ=-\cos 60^\circ. E \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, logo
\cos 120^\circ=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-3.

Passo 4

Agora vamos achar |\vec{u}+\vec{v}|. Uma forma direta e muito utilizada é usar a identidade que relaciona o quadrado do módulo com o produto escalar:
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =|\vec{u}|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}.
Explicando: expandimos o produto escalar distribuindo como em álgebra, lembrando que \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos na identidade. Sabemos |\vec{u}|^{2}=2^{2}=4, |\vec{v}|^{2}=3^{2}=9 e \vec{u}\cdot\vec{v}=-3. Assim
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=4+2\cdot(-3)+9=4-6+9=7.
Como |\vec{u}+\vec{v}| é o módulo (sempre não negativo), tomamos a raiz quadrada:
|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{7}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o produto escalar deu negativo ( -3), o que faz sentido porque o ângulo 120^\circ é obtuso — os vetores têm componente oposta. O comprimento do somatório ficou \sqrt{7}, um número entre 2 e 3+2=5 conforme esperado. Mandou bem por trazer a questão — já deu um bom passo estudando isso!

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=-3
|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{7}

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