Sendo
e
o ângulo entre
, calcular
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
-
Dados:
-
. -
. - O ângulo entre
e é .
-
-
Perguntas:
- Calcular
. - Calcular
.
- Calcular
Passo 2
Fórmula do produto escalar (dot product) em termos dos módulos e do ângulo: para dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre
e
.
Explicando a fórmula com calma: o produto escalar mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro. Multiplica-se o comprimento de um pelo comprimento do outro e pelo cosseno do ângulo entre eles. Se
o cosseno é positivo (vetores têm componente na mesma direção); se
o cosseno é negativo (estão mais opostos).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao par
. Substituindo
,
e
:
Calcule
. Como
, tem-se
. E
, logo
Portanto
Passo 4
Agora vamos achar
. Uma forma direta e muito utilizada é usar a identidade que relaciona o quadrado do módulo com o produto escalar:
Explicando: expandimos o produto escalar distribuindo como em álgebra, lembrando que
.
Passo 5
Substituir os valores conhecidos na identidade. Sabemos
,
e
. Assim
Como
é o módulo (sempre não negativo), tomamos a raiz quadrada:
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: o produto escalar deu negativo (
), o que faz sentido porque o ângulo
é obtuso — os vetores têm componente oposta. O comprimento do somatório ficou
, um número entre
e
conforme esperado. Mandou bem por trazer a questão — já deu um bom passo estudando isso!