Como \vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \cos (\theta),|\vec{u}| e |\vec{v}| são valores positivos, se
\vec{u} \cdot \vec{v}= negativo ⇒ \theta é um ângulo ______ pois está no ______ quadrante.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A identidade do produto escalar: \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta).
  • Os módulos |\vec{u}| e |\vec{v}| são valores positivos.
  • Foi dito que \vec{u}\cdot\vec{v} é negativo.
O que o enunciado pergunta:
  • Preencher o espaço em branco: " \theta é um ângulo ______".
  • Indicar em qual quadrante esse ângulo está: “pois está no ______ quadrante.”

Passo 2

Entender o papel do cosseno na fórmula. Na identidade \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta), note que:
  • |\vec{u}| e |\vec{v}| são positivos, então o sinal do produto escalar só pode vir de \cos(\theta).
  • Portanto, se \vec{u}\cdot\vec{v}<0, então necessariamente \cos(\theta)<0.

Passo 3

Lembrar onde \cos(\theta) é negativo no círculo unitário. O cosseno é negativo para ângulos cujo valor está entre \pi/2 e \pi (ou entre 90^\circ e 180^\circ), isto é:
\theta\in\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right)\quad\text{ou}\quad 90^\circ<\theta<180^\circ.

Passo 4

Interpretar o intervalo em termos de classificação de ângulos. Um ângulo que satisfaz 90^\circ<\theta<180^\circ é chamado de ângulo obtuso (maior que 90^\circ e menor que 180^\circ).

Passo 5

Relacionar com quadrantes do plano trigonométrico. No sistema de quadrantes:
  • O segundo quadrante corresponde exatamente a ângulos entre \tfrac{\pi}{2} e \pi (ou entre 90^\circ e 180^\circ).
  • Nesse quadrante o cosseno é negativo, consistente com \vec{u}\cdot\vec{v}<0.

Passo 6

Conclusão final: como \vec{u}\cdot\vec{v}<0 implica \cos(\theta)<0, segue que \theta é um ângulo obtuso e está no segundo quadrante.

Resposta

obtuso
segundo quadrante

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