Dadas as coordenadas dos pontos
e
- que são vértices de um triângulo - determine se o ângulo no vértice
é agudo, reto ou obtuso.
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo:
O que precisa ser determinado: classificar o ângulo no vértice
como agudo, reto ou obtuso.
Passo 2
Como vamos usar vetores, registro a ideia principal que vou aplicar (sem resolver ainda): para o ângulo em
é natural considerar os vetores que partem de
e vão para os outros vértices, isto é
e
.
A ferramenta chave é o produto escalar (dot product). Vou resumir a teoria necessária — leia com calma, é a parte que salva tempo na prova.
- Definição componente a componente: se
e , então
Cada
e
é a componente do vetor nas direções
.
- Interpretação geométrica: o produto escalar relaciona o cosseno do ângulo
entre os vetores:
onde
é o comprimento (norma) de
, dado por
- Classificação do ângulo a partir do produto escalar:
- Se
então (ângulo agudo). - Se
então (ângulo reto). - Se
então (ângulo obtuso).
- Se
Observação prática para prova: para decidir se o ângulo é agudo/recto/obtuso basta calcular o sinal de
; não é preciso calcular
nem
nem
inteiro.
Exemplinhos rápidos para fixar:
-
, têm → ângulo agudo. -
, têm → ângulo reto. -
, têm → ângulo obtuso.
Passo 3
Calcular os vetores
e
pelas diferenças de coordenadas (componente a componente):
Expliquei cada subtração: por exemplo a primeira componente de
é
, a segunda é
, etc.
Passo 4
Calcular o produto escalar
usando a fórmula componente a componente:
Executando as multiplicações e somas:
Passo 5
Interpretação imediata:
. Pelas regras do produto escalar (Passo 2), isso implica que o cosseno do ângulo é positivo, logo o ângulo entre
e
é menor que
. Portanto o ângulo no vértice
é agudo.
(Apenas para verificação numérica — não é necessário na prova — pode calcular as normas e o cosseno:)
confirmando que o ângulo é agudo.
Resposta
O ângulo no vértice
é agudo.