Dadas as coordenadas dos pontos A(-1,-2,4), B(-2,1,-1) e C(3,-2,1) - que são vértices de um triângulo - determine se o ângulo no vértice B é agudo, reto ou obtuso.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo:
  • A(-1,-2,4)
  • B(-2,1,-1)
  • C(3,-2,1)
O que precisa ser determinado: classificar o ângulo no vértice B como agudo, reto ou obtuso.

Passo 2

Como vamos usar vetores, registro a ideia principal que vou aplicar (sem resolver ainda): para o ângulo em B é natural considerar os vetores que partem de B e vão para os outros vértices, isto é \vec{BA} e \vec{BC}.
A ferramenta chave é o produto escalar (dot product). Vou resumir a teoria necessária — leia com calma, é a parte que salva tempo na prova.
  • Definição componente a componente: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Cada u_i e v_i é a componente do vetor nas direções x,y,z.
  • Interpretação geométrica: o produto escalar relaciona o cosseno do ângulo \theta entre os vetores:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) de \vec{u}, dado por
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • Classificação do ângulo a partir do produto escalar:
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}>0 então \cos\theta>0\Rightarrow\theta<90^\circ (ângulo agudo).
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 então \cos\theta=0\Rightarrow\theta=90^\circ (ângulo reto).
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}<0 então \cos\theta<0\Rightarrow\theta>90^\circ (ângulo obtuso).
Observação prática para prova: para decidir se o ângulo é agudo/recto/obtuso basta calcular o sinal de \vec{BA}\cdot\vec{BC}; não é preciso calcular \|\vec{BA}\| nem \|\vec{BC}\| nem \cos\theta inteiro.
Exemplinhos rápidos para fixar:
  • \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(1,1) têm \vec{u}\cdot\vec{v}=1>0 → ângulo agudo.
  • \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(0,1) têm \vec{u}\cdot\vec{v}=0 → ângulo reto.
  • \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(-1,1) têm \vec{u}\cdot\vec{v}=-1<0 → ângulo obtuso.

Passo 3

Calcular os vetores \vec{BA} e \vec{BC} pelas diferenças de coordenadas (componente a componente):
\vec{BA}=A-B = \bigl(-1-(-2),\;-2-1,\;4-(-1)\bigr)
\vec{BA}=(1,\,-3,\,5).
\vec{BC}=C-B = \bigl(3-(-2),\;-2-1,\;1-(-1)\bigr)
\vec{BC}=(5,\,-3,\,2).
Expliquei cada subtração: por exemplo a primeira componente de \vec{BA} é -1 - (-2)=1, a segunda é -2-1=-3, etc.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{BA}\cdot\vec{BC} usando a fórmula componente a componente:
\vec{BA}\cdot\vec{BC}=1\cdot5 + (-3)\cdot(-3) + 5\cdot2.
Executando as multiplicações e somas:
\vec{BA}\cdot\vec{BC}=5 + 9 + 10 = 24.

Passo 5

Interpretação imediata: \vec{BA}\cdot\vec{BC}=24>0. Pelas regras do produto escalar (Passo 2), isso implica que o cosseno do ângulo é positivo, logo o ângulo entre \vec{BA} e \vec{BC} é menor que 90^\circ. Portanto o ângulo no vértice B é agudo.
(Apenas para verificação numérica — não é necessário na prova — pode calcular as normas e o cosseno:)
\|\vec{BA}\|=\sqrt{1^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{35}, \qquad \|\vec{BC}\|=\sqrt{5^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{38},
\cos\theta=\frac{24}{\sqrt{35}\sqrt{38}}\approx0,659\Rightarrow \theta\approx49^\circ,
confirmando que o ângulo é agudo.

Resposta

O ângulo no vértice B é agudo.

Exercícios relacionados