Verificar se os vetores \vec{u}=(1,-2,3) e \vec{v}=(4,5,2) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado fornece os dois vetores abaixo e pede para verificar se eles são ortogonais:
\vec{u}=(1,-2,3) e \vec{v}=(4,5,2).
Informação dada:
  • Componentes de \vec{u}: u_1=1, u_2=-2, u_3=3.
  • Componentes de \vec{v}: v_1=4, v_2=5, v_3=2.
    Pergunta a responder: os vetores \vec{u} e \vec{v} são ortogonais?

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): para vetores em \mathbb{R}^3, a maneira padrão de verificar ortogonalidade é calcular o produto escalar (ou produto interno). A definição do produto escalar entre \vec{u} e \vec{v} é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Aqui cada u_i é a componente i-ésima de \vec{u} e cada v_i é a componente i-ésima de \vec{v}. Propriedade chave: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for igual a zero. Intuição rápida: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; se for zero, não há projeção — estão a 90° um do outro.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto escalar aos vetores dados, calculamos cada termo:
u_1 v_1 = 1\cdot 4 = 4,
u_2 v_2 = (-2)\cdot 5 = -10,
u_3 v_3 = 3\cdot 2 = 6.

Passo 4

Somando os termos para obter o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 + (-10) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0.

Passo 5

Interpretação: como vimos no Passo 2, a condição necessária e suficiente para ortogonalidade é que o produto escalar seja zero. Encontramos \vec{u}\cdot\vec{v}=0, portanto os vetores são ortogonais. (Se quiser ver por outro ângulo: usando a fórmula \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}, o numerador é zero, logo \cos\theta=0 e \theta=90^\circ, o que confirma a ortogonalidade.)

Resposta

Sim. \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

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