Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+1)}{x};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}
usando, quando apropriado, a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é o estudo de limites de tipo indeterminado e a aplicação da Regra de L’Hospital para formas 0/0.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=0 diretamente:
\ln(0+1)=\ln(1)=0 \quad\text{e}\quad x=0,
logo o quociente fica \tfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada.

Passo 3

Como temos a forma 0/0, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que f e g sejam diferenciáveis em um vizinho de a e g'(x)\neq0.

Passo 4

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
f(x)=\ln(x+1)\\ \Longrightarrow\\ f'(x)=\frac{1}{x+1},
g(x)=x\\ \Longrightarrow\\ g'(x)=1.
Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{1/(x+1)}{1} = \lim_{x\to0}\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Finalmente, ao levar x\to0 em \tfrac{1}{x+1}, obtemos
\frac{1}{0+1}=1.

Resposta

1

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