Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a x^{2}+b}{c x^{2}-d}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2} + b}{c x^{2} - d}.
Este problema envolve limites de funções racionais e, por apresentar forma indeterminada, podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Ao fazermos x \to \infty, tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limite, caracterizando a forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}. Por isso, aplicamos a Regra de L’Hospital, que estabelece:
\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
f(x) = a x^{2} + b \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 2a x,
g(x) = c x^{2} - d \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = 2c x.
Substituindo no limite de L’Hospital, obtemos
\lim_{x \to \infty} \frac{2a x}{2c x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2a}{2c} = \frac{a}{c}.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{c}

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