Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin \left(\frac{k}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}}
O conteúdo aqui é limite de quociente que, ao analisar as imagens, assume a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Podemos usar a Regra de L’Hospital para resolver.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao fazer x\to\infty: \sin\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)\to\sin(0)=0 e \tfrac{1}{x}\to0, logo temos 0/0. Assim, podemos aplicar L’Hospital, que diz que
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que ambos dérivem e o novo limite exista.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
Para o numerador f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr),
f'(x) =\cos\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{k}{x}\Bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{k}{x^2}\bigr) =-\frac{k}{x^2}\cos\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr).
Para o denominador g(x)=\tfrac{1}{x},
g'(x)=-\frac{1}{x^2}.

Passo 4

Pela Regra de L’Hospital, o limite original passa a ser
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{-\tfrac{k}{x^2}\cos\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)} {-\tfrac{1}{x^2}} =\lim_{x\to\infty}k\cos\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr).
Como \tfrac{k}{x}\to0 quando x\to\infty, temos \cos\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)\to\cos(0)=1. Portanto o limite vale k.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{k}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}} = k.

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