Calcular as seguintes integrais:
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx,
com a>0. O conteúdo principal aqui é usar uma substituição trigonométrica do tipo x=a\sin\theta, que transforma a raiz num cosseno e facilita a integração.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = a\sin\theta, \quad dx = a\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^{2}-x^{2}} = \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta} = a\cos\theta,
a integral fica
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx = \int (a\cos\theta)\,(a\cos\theta\,d\theta) = a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \cos^{2}\theta usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Assim
a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = a^{2}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = a^{2}\Bigl(\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr) + C.

Passo 4

Retornando à variável x, temos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr), \quad \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\frac{x}{a}\,\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} = \frac{2x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a^{2}}.
Substituindo,
a^{2}\Bigl(\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr) = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + \frac{a^{2}}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a^{2}} = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}.

Resposta

\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx = \frac{x}{2}\,\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

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