Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0_{+}} x^{n} \cdot \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0_{+}} x^{n}\,\ln(x)
usando, quando possível, a Regra de L’Hospital. O conteúdo aqui é limites com indeterminação do tipo -\infty\cdot0 ou, melhor reescrevendo, do tipo \tfrac{-\infty}{\infty}.

Passo 2

Para aplicar L’Hospital, reescrevemos
x^{n}\,\ln(x)
como uma fração. Observe que
x^{n}\,\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-n}}.

Passo 3

Verifiquemos o tipo de indeterminação quando x\to0_{+}:
  • \ln(x)\to -\infty,
  • x^{-n}\to +\infty.
    Logo temos a forma \tfrac{-\infty}{\infty}, em que se pode aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Numerador: \frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac1{x}.
– Denominador: \frac{d}{dx}[x^{-n}] = -n\,x^{-n-1}.
Então
\lim_{x\to0_{+}}\frac{\ln(x)}{x^{-n}} = \lim_{x\to0_{+}} \frac{\tfrac1{x}}{-n\,x^{-n-1}} = \lim_{x\to0_{+}} \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{-n\,x^{-n-1}} = \lim_{x\to0_{+}} \biggl(-\frac{1}{n}\biggr)\,x^{n}.

Passo 5

Como n>0, temos x^{n}\to0 quando x\to0_{+}. Portanto
\lim_{x\to0_{+}} \bigl(-\tfrac{1}{n}\bigr)\,x^{n} = -\tfrac{1}{n}\cdot0 = 0.

Resposta

\lim_{x\to0_{+}} x^{n}\,\ln(x) = 0.

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