Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{\cos (x)-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\cos(x)-1}
e reconhecemos que, ao substituirmos x=0, tanto o numerador quanto o denominador valem zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hospital, que aplica-se justamente a limites com esse tipo de indeterminação.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
e^{0^{2}}-1=0 \quad\text{e}\quad \cos(0)-1=0.
Logo podemos usar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador separadamente.

Passo 3

Derivando numerador e denominador, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\cos(x)-1} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)}{\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)-1\bigr)} = \lim_{x\to0}\frac{2x\,e^{x^{2}}}{-\sin(x)}.

Passo 4

Reescrevendo e fatorando constantes e limites conhecidos, temos
\lim_{x\to0}\frac{2x\,e^{x^{2}}}{-\sin(x)} = -2\;\lim_{x\to0}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)\;\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}.
Sabemos que
\lim_{x\to0}e^{x^{2}}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1,
portanto o limite vale -2.

Resposta

-2

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