Considere a função f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} definida por f(n)=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}, onde x_{k}=(-1)^{k}, para cada k=1, \ldots, n. A imagem de f é o conjunto:
(a) \{0,1\}
(b) \{0\}
(c) \mathbb{Z}
(d) \{-1,0,1\}
(e) \{-1,0\}

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{Z},\quad f(n)=\sum_{k=1}^{n}x_k,
onde
x_k = (-1)^k.
Precisamos determinar todos os valores que f(n) assume quando n percorre \mathbb{N}, ou seja, sua imagem.

Passo 2

Vamos entender o comportamento de x_k. Como
x_k = (-1)^k,
temos:
– se k é ímpar, x_k = -1,
– se k é par, x_k = +1.

Passo 3

Agora calculamos a soma parcial f(n). Note que os termos se agrupam em pares (-1)+1:
– Se n é par, escrevemos n=2m. Então há m pares (-1)+1, cada par soma zero, logo
f(2m)=\sum_{k=1}^{2m}x_k = m\cdot\bigl(-1+1\bigr)=0.
– Se n é ímpar, escrevemos n=2m+1. Então os primeiros 2m termos somam zero e sobra um termo com k=2m+1 (ímpar), isto é,
f(2m+1)=\sum_{k=1}^{2m+1}x_k = 0 + x_{2m+1} = -1.

Passo 4

Concluímos que
f(n)= \begin{cases} 0, & \text{se \(n\) é par},\\ -1,& \text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí
Portanto, a imagem de f é \{-1,0\}.

Resposta

(e) \{-1,0\}

Exercícios relacionados