Considere as funções:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+2, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array} \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.\right.
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=1
(b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=2
(c) Os itens (a) e (b) contradizem a Regra de L’Hospital? Por quê?

  1. *jeancb@ime.usp.br

Passo 1

O enunciado define duas funções por partes em torno de x=0\): \[f(x)=\begin{cases} x+2,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases} \quad g(x)=\begin{cases} x+1,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Pede-se em (a) o valor de \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\], em (b) o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} e em (c) se há contradição com a Regra de L’Hospital — cujo conteúdo é: se \lim f(x)=\lim g(x)=0 (ou \pm\infty) e g'(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 2

Para x\neq0 temos
f(x)=x+2\implies f'(x)=1, \quad g(x)=x+1\implies g'(x)=1.
Como ambas as derivadas são constantes iguais a 1 em todo entorno de 0 (exceto no próprio ponto),
\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{1}{1} = 1.

Passo 3

Para x\neq0 escrevemos
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+2}{x+1},
e então
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to0}\frac{x+2}{x+1} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 4

A Regra de L’Hospital só vale quando \lim_{x\to0}f(x) e \lim_{x\to0}g(x) formam uma indeterminação 0/0 ou \infty/\infty. Aqui,
\lim_{x\to0}f(x)=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}g(x)=1,
não há forma indeterminada. Logo não se aplica L’Hospital e não há contradição entre (a) e (b).

Resposta

(a) 1
(b) 2
(c) Não há contradição com a Regra de L’Hospital, pois não se tem indeterminação 0/0 nem \infty/\infty em \lim_{x\to0}f(x)/g(x).

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