Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)}{\ln \left(\frac{x-1}{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\!\bigl(\frac{x+1}{x}\bigr)}{\ln\!\bigl(\frac{x-1}{x}\bigr)}
Aplicaremos a Regra de L’Hospital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, caracterizando uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Definimos
f(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr) \quad\text{e}\quad g(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{x-1}{x}\bigr).
Ao fazermos x\to\infty, temos
f(x)\to\ln(1)=0 \quad\text{e}\quad g(x)\to\ln(1)=0,
logo podemos aplicar L’Hospital e passar para
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+1)-\ln x\bigr] =\frac1{x+1}-\frac1{x} =-\frac1{x(x+1)},
g'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x-1)-\ln x\bigr] =\frac1{x-1}-\frac1{x} =\frac1{x(x-1)}.
Então
\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{-\frac1{x(x+1)}}{\frac1{x(x-1)}} =-\frac{x(x-1)}{x(x+1)} =-\frac{x-1}{x+1}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite de
-\frac{x-1}{x+1}
quando x\to\infty. Divide-se numerador e denominador por x e obtém-se
-\frac{1 - \tfrac1x}{1 + \tfrac1x} \;\longrightarrow\; -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados