Calcular, aplicando quando possível, as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot e^{\frac{1}{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0} x^{2} \, e^{\frac{1}{x^{2}}}.
Estamos lidando com um produto do tipo 0 \times \infty, que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hospital, primeiro vamos reescrever esse produto numa forma \frac{\infty}{\infty} ou \frac{0}{0}.

Passo 2

Reescrevemos
x^{2}\,e^{\frac{1}{x^{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x^{2}}}.
Quando x\to 0, o numerador e^{\frac{1}{x^{2}}}\to\infty e o denominador \tfrac{1}{x^{2}}\to\infty. Agora temos a forma \frac{\infty}{\infty} e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\Bigl(e^{\frac{1}{x^{2}}}\Bigr) = e^{\frac{1}{x^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr) = e^{\frac{1}{x^{2}}}\cdot\Bigl(-\frac{2}{x^{3}}\Bigr).
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{2}{x^{3}}.

Passo 4

O quociente das derivadas fica
\frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}\cdot\bigl(-\frac{2}{x^{3}}\bigr)} {-\frac{2}{x^{3}}} = e^{\frac{1}{x^{2}}}.
Logo, pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Como \frac{1}{x^{2}}\to +\infty quando x\to 0, temos
\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x^{2}}} = +\infty.
Portanto o limite original diverge para +\infty.

Resposta

\lim_{x\to 0} x^{2}\,e^{\frac{1}{x^{2}}} = +\infty.

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