Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
j)\left{ ly^prime prime prime-8 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=0\right.$

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
y''' - 8y = 0 y(0) = 0, y'(0) = -1, y''(0) = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, o que envolve encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
y''' - 8y = 0
a equação característica é obtida substituindo y por e^rt , o que nos dá:
r^3 - 8 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^3 - 8 = 0 Rightarrow r^3 = 8 Rightarrow r = raiz[3]8
Sabemos que 8 = 2^3 , então:
r = 2
Neste caso, a equação característica tem uma raiz real múltipla. Porém, como r^3 - 8 = 0 tem três raízes, devemos considerar se há raízes complexas ou múltiplas.

Passo 4

Na verdade, r^3 - 8 = 0 pode ser fatorada como:
r^3 - 8 = (r - 2)(r^2 + 2r + 4) = 0
Portanto, as raízes são:
r = 2
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 = -2 pm raiz4 - 162 = -2 pm raiz-122 = -1 pm iraiz3
Então, temos uma raiz real r = 2 e duas raízes complexas conjugadas r = -1 pm iraiz3 .

Passo 5

Com as raízes em mãos, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas, a solução é da forma:
yh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + C3 e^r3 t
No nosso caso, como temos uma raiz real r = 2 e duas raízes complexas r = -1 pm iraiz3 , a solução geral fica:
y(t) = C1 e^2t + e^-t ( C2 cos(raiz3t) + C3 sin(raiz3t) )

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 , C2 e C3 .
As condições iniciais são:
y(0) = 0, y'(0) = -1, y''(0) = 0
Primeiro, vamos calcular y(0) :
y(0) = C1 e^0 + e^0 ( C2 cos(0) + C3 sin(0) ) = C1 + C2 = 0 Rightarrow C1 = -C2

Passo 7

Agora, vamos calcular a primeira derivada y'(t) :
y'(t) = 2C1 e^2t + e^-t ( -C2 cos(raiz3t) - C3 sin(raiz3t) ) + e^-t ( -C2 raiz3 sin(raiz3t) + C3 raiz3 cos(raiz3t) )
Simplificando e avaliando em t = 0 :
y'(0) = 2C1 + (-C2) + C3 raiz3 = -1
Sabemos que C1 = -C2 , então substituindo:
2(-C2) - C2 + C3 raiz3 = -1 Rightarrow -3C2 + C3 raiz3 = -1

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda derivada y''(t) e avaliá-la em t = 0 :
Após algumas operações, teremos:
y''(0) = 4C1 + 2C2 + C3 (3) = 0
Substituindo C1 = -C2 :
4(-C2) + 2C2 + 3C3 = 0 Rightarrow -2C2 + 3C3 = 0

Passo 9

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. -3C2 + C3 raiz3 = -1
  2. -2C2 + 3C3 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar C2 e C3 .
Da segunda equação:
-2C2 + 3C3 = 0 Rightarrow C2 = 32 C3
Substituindo na primeira equação:
-3(32 C3) + C3 raiz3 = -1 Rightarrow -92 C3 + raiz3 C3 = -1
Fatorando C3 :
C3 ( -92 + raiz3 ) = -1 Rightarrow C3 = -1 -92 + raiz3 = 1 92 - raiz3
Multiplicando numerador e denominador por 2 :
C3 = 29 - 2raiz3
Racionalizando o denominador:
C3 = 2(9 + 2raiz3)(9 - 2raiz3)(9 + 2raiz3) = 18 + 4raiz381 - 12 = 18 + 4raiz369 = 6 + 43raiz323
Simplificando:
C3 = 6 + 4raiz369 = 2(3 + 2raiz3)69 = 3 + 2raiz334.5 approx 3 + 2raiz334.5
E então:
C2 = 32 C3 = 32 cdot 2(3 + 2raiz3)69 = 3(3 + 2raiz3)69 = 9 + 6raiz369 = 3 + 2raiz323
E como C1 = -C2 :
C1 = -3 + 2raiz323

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -3 + 2raiz323 e^2t + e^-t ( 3 + 2raiz323 cos(raiz3t) + 2(3 + 2raiz3)23 sin(raiz3t) )

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