estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
Passo 1
O enunciado pede que eu estabeleça a integral que dá o comprimento de arco da curva definida por
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
. - A pergunta é: escrever a integral que fornece o comprimento do arco dessa curva e calcular esse comprimento (ou pelo menos expressá-lo em forma fechada), isto é, achar
comprimento do arco entre e .
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco (explicação didática):
Se uma curva é dada por , suave, definida em
, o comprimento de arco
é dado por
Se uma curva é dada por
O que isso significa: para cada pequeno pedaço
no eixo
, o comprimento do pedacinho de curva é aproximadamente
. Integrando desses pedaços sobre o intervalo obtemos o comprimento total. Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calcular a derivada
da função dada (passo necessário para aplicar a fórmula):
Explico: a derivada de
é
, a derivada de
é
e de
é
.
Passo 4
Substituir
na fórmula do comprimento:
Agora simplificamos a expressão dentro da raiz:
É bom completar o quadrado para ver uma forma mais manejável:
Logo a integral fica
Passo 5
Fazer uma substituição para transformar a integral numa forma padrão. Defino
Quando
temos
. Quando
temos
. A raiz fica
porque
. Portanto
Passo 6
Calcular a primitiva de
. Fórmula padrão (e curta demonstração): uma primitiva é
Breve justificativa (método com substituição hiperbólica, sem detalhes pesados): tomar
leva a
e
, então a integral vira
que se integra por identidades hiperbólicas e volta-se à expressão acima. Aceitamos essa primitiva porque é um resultado padrão e pode ser verificado diferenciando-a (derivando retorna
).
Como na nossa integral apareceu o fator
multiplicando, a antiderivada usada será
Passo 7
Avaliar a primitiva entre os limites
e
:
Calculo cada termo:
- Para
: . Então o valor é
- Para
: . Então o valor é
Subtraindo:
Podemos juntar os logaritmos: