estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
y=x^{2}+2 x-1,0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede que eu estabeleça a integral que dá o comprimento de arco da curva definida por y=x^{2}+2x-1 no intervalo 0\le x\le 1.
Informações dadas:
  • A função é y(x)=x^{2}+2x-1.
  • O intervalo é x\in[0,1].
  • A pergunta é: escrever a integral que fornece o comprimento do arco dessa curva e calcular esse comprimento (ou pelo menos expressá-lo em forma fechada), isto é, achar L= comprimento do arco entre x=0 e x=1.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco (explicação didática):
Se uma curva é dada por y=y(x), suave, definida em [a,b], o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
O que isso significa: para cada pequeno pedaço dx no eixo x, o comprimento do pedacinho de curva é aproximadamente \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}\,dx. Integrando desses pedaços sobre o intervalo obtemos o comprimento total. Aqui y'(x) é a derivada de y em relação a x.

Passo 3

Calcular a derivada y'(x) da função dada (passo necessário para aplicar a fórmula):
y(x)=x^{2}+2x-1 \quad\Rightarrow\quad y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x-1\bigr)=2x+2.
Explico: a derivada de x^{2} é 2x, a derivada de 2x é 2 e de -1 é 0.

Passo 4

Substituir y'(x) na fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigl(2x+2\bigr)^{2}}\,dx.
Agora simplificamos a expressão dentro da raiz:
1+\bigl(2x+2\bigr)^{2}=1+4x^{2}+8x+4=4x^{2}+8x+5.
É bom completar o quadrado para ver uma forma mais manejável:
4x^{2}+8x+5=4\bigl(x^{2}+2x\bigr)+5=4\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+5=4(x+1)^{2}+1.
Logo a integral fica
L=\int_{0}^{1}\sqrt{4(x+1)^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Fazer uma substituição para transformar a integral numa forma padrão. Defino
u=2(x+1)\quad\Rightarrow\quad du=2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Quando x=0 temos u=2(0+1)=2. Quando x=1 temos u=2(1+1)=4. A raiz fica \sqrt{u^{2}+1} porque 4(x+1)^{2}+1=(2(x+1))^{2}+1=u^{2}+1. Portanto
L=\int_{x=0}^{x=1}\sqrt{4(x+1)^{2}+1}\,dx =\int_{u=2}^{u=4}\sqrt{u^{2}+1}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{2}^{4}\sqrt{u^{2}+1}\,du.

Passo 6

Calcular a primitiva de \sqrt{u^{2}+1}. Fórmula padrão (e curta demonstração): uma primitiva é
\int \sqrt{u^{2}+1}\,du=\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr)+C.
Breve justificativa (método com substituição hiperbólica, sem detalhes pesados): tomar u=\operatorname{sinh} t leva a \sqrt{u^{2}+1}=\operatorname{cosh} t e du=\operatorname{cosh} t\,dt, então a integral vira \int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt que se integra por identidades hiperbólicas e volta-se à expressão acima. Aceitamos essa primitiva porque é um resultado padrão e pode ser verificado diferenciando-a (derivando retorna \sqrt{u^{2}+1}).
Como na nossa integral apareceu o fator \tfrac{1}{2} multiplicando, a antiderivada usada será
\frac{1}{2}\int \sqrt{u^{2}+1}\,du=\frac{1}{2}\left(\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr)\right)+C =\frac{u}{4}\sqrt{u^{2}+1}+\frac{1}{4}\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr)+C.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre os limites u=2 e u=4:
L=\left[\frac{u}{4}\sqrt{u^{2}+1}+\frac{1}{4}\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr)\right]_{2}^{4}.
Calculo cada termo:
  • Para u=4: \sqrt{4^{2}+1}=\sqrt{17}. Então o valor é
\frac{4}{4}\sqrt{17}+\frac{1}{4}\ln\bigl(4+\sqrt{17}\bigr)=\sqrt{17}+\frac{1}{4}\ln\bigl(4+\sqrt{17}\bigr).
  • Para u=2: \sqrt{2^{2}+1}=\sqrt{5}. Então o valor é
\frac{2}{4}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
Subtraindo:
L=\left(\sqrt{17}+\frac{1}{4}\ln\bigl(4+\sqrt{17}\bigr)\right)-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\right).
Podemos juntar os logaritmos:
L=\sqrt{17}-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{4+\sqrt{17}}{2+\sqrt{5}}\right).

Resposta

\sqrt{17}-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{4+\sqrt{17}}{2+\sqrt{5}}\right)

Exercícios relacionados