Calcular a área do disco de raio r usando o teorema de Green.

Passo 1

Opa! A gente precisa achar a área do disco de raio r usando o Teorema de Green, que liga uma integral de linha ao redor da curva fechada C (a circunferência) a uma integral dupla sobre a região D (o disco). A ideia é escolher um campo vetorial (P,Q) cujo rotacional seja 1, assim a integral dupla vai dar diretamente a área.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que, para C orientada positivamente e D a região interna, vale
ointC P,dx + Q,dy ;=; integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Escolhemos
P(x,y) = -y2, Q(x,y) = x2,
porque aí
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12 - l(-tfrac12r) = 1
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integral duplaD1,dA = ointCP,dx + Q,dy
é exatamente a área de D.

Passo 4

Agora parametrize C por
x = rcos t, y = rsin t, tin[0,2pi],
então
dx = -rsin t,dt, dy = rcos t,dt

Passo 5

Substituindo em P,dx+Q,dy:
P,dx + Q,dy = l(-tfracy2r),dx + l(tfracx2r),dy = l(-tfracrsin t2r)l(-rsin t,dtr) + l(tfracrcos t2r)l(rcos t,dtr)
Isso dá
r^2sin^2 t + r^2cos^2 t2,dt = r^22,dt

Passo 6

Portanto a integral de linha é
ointCP,dx + Q,dy = integral0^2pir^22,dt = r^22cdot 2pi = pi r^2

Resposta

A área do disco de raio r é pi r^2.

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