Encontre o rotacional e divergente do campo
F(x, y, z)=x y^2 z^2 i+z^2 sen y j+x^2 e^y k

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo que vamos analisar é:
F(x, y, z) = x y^2 z^2 i + z^2 sin(y) j + x^2 e^y k
Para isso, vamos usar dois conceitos principais:
  1. Rotacional (também conhecido como curl): mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto.
  2. Divergente: mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto no campo vetorial.
Vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo F. A fórmula para o rotacional é:
rot, F = nabla times F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k
Vamos identificar as componentes do vetor F:
  • Fi = x y^2 z^2
  • Fj = z^2 sin(y)
  • Fk = x^2 e^y

Passo 3

Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
  1. Componente i:
partial Fkpartial y = partialpartial y (x^2 e^y) = x^2 e^y
partial Fjpartial z = partialpartial z (z^2 sin(y)) = 2 z sin(y)
Então,
(rot, F)i = x^2 e^y - 2 z sin(y)
  1. Componente j:
partial Fipartial z = partialpartial z (x y^2 z^2) = 2 x y^2 z
partial Fkpartial x = partialpartial x (x^2 e^y) = 2 x e^y
Então,
(rot, F)j = 2 x y^2 z - 2 x e^y
  1. Componente k:
partial Fjpartial x = partialpartial x (z^2 sin(y)) = 0
partial Fipartial y = partialpartial y (x y^2 z^2) = 2 x y z^2
Então,
(rot, F)k = 0 - 2 x y z^2 = -2 x y z^2

Passo 4

Agora, vamos juntar as componentes para obter o rotacional completo:
rot, F = ( x^2 e^y - 2 z sin(y) ) i + ( 2 x y^2 z - 2 x e^y ) j - 2 x y z^2 k

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente do campo F. A fórmula para o divergente é:
div, F = nabla cdot F = partial Fipartial x + partial Fjpartial y + partial Fkpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de Fi em relação a x:
partial Fipartial x = partialpartial x (x y^2 z^2) = y^2 z^2
  1. Derivada de Fj em relação a y:
partial Fjpartial y = partialpartial y (z^2 sin(y)) = z^2 cos(y)
  1. Derivada de Fk em relação a z:
partial Fkpartial z = partialpartial z (x^2 e^y) = 0

Passo 6

Agora, somamos as derivadas parciais para obter o divergente:
div, F = y^2 z^2 + z^2 cos(y) + 0 = y^2 z^2 + z^2 cos(y)

Resposta

O rotacional do campo F é:
rot, F = ( x^2 e^y - 2 z sin(y) ) i + ( 2 x y^2 z - 2 x e^y ) j - 2 x y z^2 k
E o divergente do campo F é:
div, F = y^2 z^2 + z^2 cos(y)

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