Encontre o rotacional e divergente do campo
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo que vamos analisar é:
Para isso, vamos usar dois conceitos principais:
- Rotacional (também conhecido como curl): mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto.
- Divergente: mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto no campo vetorial.
Vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo
. A fórmula para o rotacional é:
Vamos identificar as componentes do vetor
:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
- Componente
:
Então,
- Componente
:
Então,
- Componente
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos juntar as componentes para obter o rotacional completo:
Passo 5
Agora, vamos calcular o divergente do campo
. A fórmula para o divergente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 6
Agora, somamos as derivadas parciais para obter o divergente:
Resposta
O rotacional do campo
é:
E o divergente do campo
é: