Resolver o sistema de equações diferenciais para as funções de t :
l d xd t=y+4 t d yd t=4 x+t^2

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear não homogeneíno em
O conteúdo é solução de sistemas lineares por eliminação: vamos eliminar .]

Passo 2

Diferenciamos a primeira equação em relação a t:
d^2xdt^2=dydt+4
Substituímos tfracdydt=4x+t^2 da segunda equação:
x''=4x+t^2+4 Longrightarrow x''-4x=t^2+4

Passo 3

A equação homogênea associada é
x''-4x=0
com equação característica r^2-4=0, cujas raízes são r=pm2. Logo, a solução geral homogênea é
xh(t)=C1e^2t+C2e^-2t

Passo 4

Para uma solução particular xp(t) do caso não homogeneíno, tentamos um polinômio de grau 2:
xp(t)=at^2+bt+c
Então
xp''=2a,
e
xp''-4xp =2a-4(at^2+bt+c) =-4a,t^2-4b,t+(2a-4c)
Isso deve igualar t^2+4, logo
-4a=1, -4b=0, 2a-4c=4
Resolvendo:
a=-tfrac14, b=0, 2(-tfrac14)-4c=4 ;Longrightarrow; c=-tfrac98

Passo 5

Com esses a,b,c, fica
xp(t)=-tfrac14,t^2-tfrac98
A solução geral é
x(t)=C1e^2t+C2e^-2t-tfrac14,t^2-tfrac98
Como tfracdxdt=y+4t, temos
y=x'-4t =2C1e^2t-2C2e^-2t-tfrac12,t-4t =2C1e^2t-2C2e^-2t-tfrac92,t

Resposta

x(t)=C1e^2t+C2e^-2t-14,t^2-98, y(t)=2C1e^2t-2C2e^-2t-92,t,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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