Dada a seguinte integral I=integral1^2,5 x ln (x) d x
b) Calcule numericamente esta integral utilizando a regra da Quadratura Gaussiana com 3 pontos. (1,5)

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
I=integral1^2,5xln(x),dx
e pede para aproximá-la usando a quadratura de Gauss–Legendre de 3 pontos no intervalo [1,2,5]. Vamos usar os abscissas e pesos padrão em [-1,1] e depois aplicar a transformação afim para [1,2,5].

Passo 2

Em [-1,1] a regra de Gauss–Legendre de 3 pontos tem:
t1=0, w1=tfrac89; t2,3=pmraiztfrac35approxpm0,7746, w2=w3=tfrac59
A transformação de variável é
x(t)=a+b2+b-a2,t, dx=b-a2,dt,
com a=1, b=2,5. Logo
a+b2=1,75, b-a2=0,75

Passo 3

Calculamos os pontos em [1,2,5]:
x1=1,75+0,75cdot0=1,75,
x2=1,75+0,75cdot0,7746approx2,3309,
x3=1,75-0,75cdot0,7746approx1,1691

Passo 4

Avaliar f(x)=xln(x) em cada ponto:
f(x1)=1,75ln(1,75)approx0,9794,
f(x2)=2,3309ln(2,3309)approx1,9700,
f(x3)=1,1691ln(1,1691)approx0,1824

Passo 5

A quadratura dá
Iapproxb-a2sumi=1^3wi,f(xi) =0,75l(tfrac89cdot0,9794+tfrac59cdot1,9700+tfrac59cdot0,1824r) approx1,5496

Resposta

Aproximação pela regra de Gauss de 3 pontos:
Iapprox1,5496

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