Use o teorema de Green e calcule ointC f d r, onde C é a circunferência x^2+(y-1)^2=1, no sentido horário, sendo f=(4 x^2-9 y, 9 x y+raizy^2+1)

Passo 1

Então, galera, a gente precisa calcular o integral de linha ointC f cdot dr usando o Teorema de Green. A curva C é uma circunferência com equação x^2 + (y-1)^2 = 1, e ela está sendo percorrida no sentido horário. A função vetorial é f = (4 x^2 - 9 y, 9 x y + raizy^2+1). Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial f. Temos:
  • P(x, y) = 4x^2 - 9y
  • Q(x, y) = 9xy + raizy^2 + 1
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região delimitada pela curva C.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • partial Qpartial x = partialpartial x(9xy + raizy^2 + 1) = 9y
  • partial Ppartial y = partialpartial y(4x^2 - 9y) = -9
Então, a diferença das derivadas é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 9y - (-9) = 9y + 9 = 9(y + 1)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D. A região D é um círculo de raio 1 centrado em (0,1). Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Mas como a região é simétrica, podemos integrar diretamente.
Em coordenadas cartesianas, a integral fica:
integral duplaD 9(y + 1) , dA
Como D é a circunferência x^2 + (y-1)^2 = 1, podemos usar coordenadas polares com centro em (0,1).

Passo 5

Vamos fazer a transformação para coordenadas polares:
  • x = r costheta
  • y - 1 = r sintheta
  • O raio r varia de 0 a 1 e o ângulo theta de 0 a 2pi.
A integral se torna:
integral0^2pi integral0^1 9(r sintheta + 1) cdot r , dr , dtheta
Aqui, r , dr , dtheta é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em r primeiro:
integral0^1 9(r sintheta + 1) r , dr = 9 integral0^1 (r^2 sintheta + r) , dr = 9 ( sintheta cdot 1^33 + 1^22 ) = 9 ( sintheta3 + 12 ) = 3 sintheta + 92

Passo 7

Agora, integramos em theta:
integral0^2pi (3 sintheta + 92) dtheta = 3 integral0^2pi sintheta , dtheta + 92 integral0^2pi dtheta
Sabemos que integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 e integral0^2pi dtheta = 2pi, então:
0 + 92 cdot 2pi = 9pi

Resposta

O valor da integral de linha ointC f cdot dr é 9pi.

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