Use o teorema de Green e calcule
, onde
é a circunferência
, no sentido horário, sendo
Passo 1
Então, galera, a gente precisa calcular o integral de linha
usando o Teorema de Green. A curva
é uma circunferência com equação
, e ela está sendo percorrida no sentido horário. A função vetorial é
. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial
. Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região delimitada pela curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença das derivadas é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
. A região
é um círculo de raio 1 centrado em
. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Mas como a região é simétrica, podemos integrar diretamente.
Em coordenadas cartesianas, a integral fica:
Como
é a circunferência
, podemos usar coordenadas polares com centro em
.
Passo 5
Vamos fazer a transformação para coordenadas polares:
-
-
- O raio
varia de 0 a 1 e o ângulo de 0 a .
A integral se torna:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral de linha
é
.