Calcular a area de
e
para :
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área de um pedaço de esfera de raio 2 limitado por z≥1 e, em seguida, avaliar a integral de superfície ∬_S f dS com f(x,y,z)=x²+y². O conteúdo principal é geometria de superfícies (calcular área de casquete esférico) e integração de funções em superfícies usando coordenadas esféricas.
Passo 2
Para a área do casquete esférico usamos que, num raio R, entre z≥z₀, o ângulo polar máximo φ₀ satisfaz cos φ₀=z₀/R. Aqui R=2 e z₀=1, logo cos φ₀=1/2 ⇒ φ₀=π/3. A área é
Passo 3
Passo 4
Para a integral de superfície, parametrizamos S por coordenadas esféricas:
Passo 5
Passo 6
com 0≤θ≤2π e 0≤φ≤π/3. O elemento de área é dS=R² sinφ dφ dθ=4 sinφ dφ dθ, e f(x,y,z)=x²+y²=4 sin²φ. Então
Passo 7
Passo 8
O integral em θ dá 2π, restando 32π∫₀^{π/3}sin³φ dφ. Usando sin³φ=sinφ(1−cos²φ), temos antiderivada −cosφ+⅓ cos³φ. Avaliando de 0 a π/3:
Passo 9
Passo 10
Logo a integral vale
Passo 11
Resposta
A área de S é
e