Calcular a area de S e integral duplaS f d S para :
f(x, y, z)=x^2+y^2 e ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de um pedaço de esfera de raio 2 limitado por z≥1 e, em seguida, avaliar a integral de superfície ∬_S f dS com f(x,y,z)=x²+y². O conteúdo principal é geometria de superfícies (calcular área de casquete esférico) e integração de funções em superfícies usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Para a área do casquete esférico usamos que, num raio R, entre z≥z₀, o ângulo polar máximo φ₀ satisfaz cos φ₀=z₀/R. Aqui R=2 e z₀=1, logo cos φ₀=1/2 ⇒ φ₀=π/3. A área é

Passo 3

A=2pi R^2(1-cosvarphi0)=2picdot4l(1-tfrac12r)=4pi

Passo 4

Para a integral de superfície, parametrizamos S por coordenadas esféricas:

Passo 5

x=2sinvarphicostheta, y=2sinvarphisintheta, z=2cosvarphi,

Passo 6

com 0≤θ≤2π e 0≤φ≤π/3. O elemento de área é dS=R² sinφ dφ dθ=4 sinφ dφ dθ, e f(x,y,z)=x²+y²=4 sin²φ. Então

Passo 7

integral duplaS f,dS=integral0^2piintegral0^pi/34sin^2varphicdot4sinvarphi,dvarphi,dtheta=16integral0^2pidthetaintegral0^pi/3sin^3varphi,dvarphi

Passo 8

O integral em θ dá 2π, restando 32π∫₀^{π/3}sin³φ dφ. Usando sin³φ=sinφ(1−cos²φ), temos antiderivada −cosφ+⅓ cos³φ. Avaliando de 0 a π/3:

Passo 9

integral0^pi/3sin^3varphi,dvarphi=l[-cosvarphi+tfrac13cos^3varphir]0^pi/3=524

Passo 10

Logo a integral vale

Passo 11

32picdot524=20pi3

Resposta

A área de S é e

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