Calcular a area de
e
para :
a parte da superficie
que se encontra acima da paraboloide
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região de S e o valor de
com
, onde S é a parte do cone
que fica acima do paraboloide
. O conteúdo é cálculo de área de superfície e integral de superfície de função escalar, e vamos usar parametrização em coordenadas polares e a fórmula de
para uma superfície dada por
.
Passo 2
Para encontrar a região de interesse, igualamos o cone e o paraboloide. No cone temos
. Substituindo em
dá
Passo 3
Em coordenadas polares
, então
logo a região corresponde a
Passo 4
Parametrizamos o cone acima como
Para uma superfície
temos
. Aqui
, então
. Em polares
, logo
Passo 5
O cálculo da área fica:
Passo 6
Para a integral de superfície de
temos
, então
Resposta
A área de S é
e
.