Calcular a area de S e integral duplaS f d S para :
S a parte da superficie x^2+y^2-z^2=0 que se encontra acima da paraboloide x^2+y^2- 4 z+3=0 e f(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado pede a área da região de S e o valor de integral duplaS f,dS com f(x,y,z)=z, onde S é a parte do cone x^2+y^2-z^2=0 que fica acima do paraboloide x^2+y^2-4z+3=0. O conteúdo é cálculo de área de superfície e integral de superfície de função escalar, e vamos usar parametrização em coordenadas polares e a fórmula de dS para uma superfície dada por z=g(x,y).

Passo 2

Para encontrar a região de interesse, igualamos o cone e o paraboloide. No cone temos z=raizx^2+y^2. Substituindo em x^2+y^2-4z+3=0
x^2+y^2-4raizx^2+y^2+3=0

Passo 3

Em coordenadas polares x^2+y^2=r^2, então
r^2-4r+3=0Longrightarrow (r-1)(r-3)=0,
logo a região corresponde a 1<= r<=3 e 0<=theta<=2pi.

Passo 4

Parametrizamos o cone acima como
(x,y,z)=(rcostheta,rsintheta,r), 1<= r<=3,;0<=theta<=2pi
Para uma superfície z=g(x,y) temos dS=raiz1+gx^2+gy^2,dA. Aqui gx^2+gy^2=1, então dS=raiz2,dA. Em polares dA=r,dr,dtheta, logo
dS=raiz2,r,dr,dtheta

Passo 5

O cálculo da área fica:
Área(S)=integral0^2piintegral1^3raiz2,r,dr,dtheta =2piraiz2l[tfracr^22r]1^3=8piraiz2Á

Passo 6

Para a integral de superfície de f(x,y,z)=z temos z=r, então
integral duplaS z,dS=integral0^2piintegral1^3raiz2,rcdot r,dr,dtheta =2piraiz2l[tfracr^33r]1^3=52piraiz23

Resposta

A área de S é 8piraiz2 e integral duplaS f,dS=52piraiz23.

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