1. Utilizando a integral de linha, determine a massa de um fio delgado em forma de círculo de raio a cuja densidade linear é . Este resultado poderia ser determinado de uma forma mais simples?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de um fio em forma de círculo de raio a usando uma integral de linha, onde a densidade linear é lambda=lambda0l((x/a)^2+(y/a)^2r). O conteúdo usado é integral de linha para massa de um fio: m=integralClambda,ds.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio a por x=acos t, y=asin t, com tin[0,2pi]. Substituindo, temos
l(tfracxar)^2+l(tfracyar)^2=cos^2t+sin^2t=1, \nlogo lambda=lambda0.

Passo 3

Calculamos o elemento de arco:
r'(t)=(-asin t,,acos t),
ds=| r'(t)|,dt=a,dt

Passo 4

Agora a massa é
m=integralClambda,ds=integral0^2pilambda0,l(a,dtr)=lambda0aintegral0^2pidt=2pi alambda0

Passo 5

Como lambda fica constante sobre o círculo, poderíamos ter evitado a parametrização detalhada e simplesmente usado m=lambdatimescomprimento=lambda0times2pi a.

Resposta

2pi a lambda0

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