1. Determine a massa de um fio delgado em forma de círculo de raio a cuja densidade linear é lambda=lambda0(y / a)^2.

Passo 1

O problema trata do cálculo da massa de um fio fino em formato de círculo de raio a cuja densidade linear varia com a coordenada y segundo lambda=lambda0(y/a)^2. Vamos usar parametrização da curva e integração de densidade linear para encontrar a massa.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência por x=acos t, y=asin t para tin[0,2pi]. A densidade torna-se lambda(t)=lambda0sin^2t e o elemento de comprimento é ds=a,dt. Assim a massa é dada por
M=integralClambda,ds=integral0^2pilambda0sin^2tcdot a,dt

Passo 3

Para avaliar a integral usamos a identidade trigonométrica
integral0^2pisin^2t,dt=pi
Logo,
M=lambda0api

Resposta

M=\pi a\lambda_0

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