Calcular a area de
e
para :
e
;
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar a área da superfície S dada por z = x³, com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ π, e em seguida calcular a integral de superfície ∬_S f dS, onde f(x,y,z)=3x³ sen y. O conteúdo envolvido é geometria diferencial (área de superfície parametrizada) e integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar S, obter o elemento de área dS e depois montar as integrais.
Passo 2
Parametrizamos S por r(x,y) = (x, y, x³), com (x,y) no retângulo [0,1]×[0,π]. Calculamos as derivadas parciais:
O vetor normal (não unitário) é o produto vetorial
Passo 3
O módulo do produto vetorial dá o elemento de área:
Logo
Passo 4
Para achar a área de S, integramos:
Passo 5
Agora montamos o integral de superfície de f:
Separamos as integrais em x e y:
ficando
Passo 6
Para resolver
, usamos a substituição u = 1 + 9x^4, du = 36x^3 dx. Então x=0→u=1 e x=1→u=10, e
Multiplicando por 6:
Resposta
Área(S) = π\int_{0}^{1} \sqrt{1+9x^4},dx
e
e