Calcular a area de S e integral duplaS f d S para :
f(x, y, z)=3 x^3 sen y e ;

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a área da superfície S dada por z = x³, com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ π, e em seguida calcular a integral de superfície ∬_S f dS, onde f(x,y,z)=3x³ sen y. O conteúdo envolvido é geometria diferencial (área de superfície parametrizada) e integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar S, obter o elemento de área dS e depois montar as integrais.

Passo 2

Parametrizamos S por r(x,y) = (x, y, x³), com (x,y) no retângulo [0,1]×[0,π]. Calculamos as derivadas parciais:
rx = (1,0,3x^2),
ry = (0,1,0)
O vetor normal (não unitário) é o produto vetorial
rx times ry = ( -3x^2,0,1 )times? na prática o módulo fica mais fácil por fórmula direta.

Passo 3

O módulo do produto vetorial dá o elemento de área:
|rx times ry| = raiz1 + (3x^2)^2 = raiz1 + 9x^4
Logo
dS = raiz1 + 9x^4,dx,dy

Passo 4

Para achar a área de S, integramos:
Área(S) = integraly=0^piintegralx=0^1 raiz1 + 9x^4,dx,dy = pi integral0^1 raiz1 + 9x^4,dxÁ

Passo 5

Agora montamos o integral de superfície de f:
integral duplaS f,dS = integral0^piintegral0^1 3x^3sin y,raiz1+9x^4,dx,dy
Separamos as integrais em x e y:
integral0^pi sin y,dy = 2,
ficando
integral duplaS f,dS = 3cdot2 integral0^1 x^3 raiz1+9x^4,dx = 6 integral0^1 x^3 raiz1+9x^4,dx

Passo 6

Para resolver integral0^1 x^3raiz1+9x^4,dx, usamos a substituição u = 1 + 9x^4, du = 36x^3 dx. Então x=0→u=1 e x=1→u=10, e
integral0^1 x^3raiz1+9x^4,dx = 136integral1^10 raizu,du = 136 cdot 23l[u^3/2r]1^10 = 154(10^3/2-1)
Multiplicando por 6:
integral duplaS f,dS = 6cdot 154(10raiz10-1) = 19(10raiz10-1)

Resposta

Área(S) = π\int_{0}^{1} \sqrt{1+9x^4},dx
e
integral duplaS f,dS = 10raiz10-19

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