Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores a=3 i+j+2 k e b=4 i-j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo definido por dois vetores, que aqui são a = 3 i + j + 2 k e b = 4 i - j. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área de um paralelogramo formado por dois vetores a e b é igual ao módulo (ou tamanho) do produto vetorial desses vetores. A fórmula fica assim:
Área = |a times b| Á
O produto vetorial a times b gera um novo vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor representa a área que a gente quer encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial a times b. Para isso, usamos a regra do determinante:
a times b = i & j & k 3 & 1 & 2 4 & -1 & 0
Resolvendo o determinante:
a times b = i cdot (1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) - j cdot (3 cdot 0 - 2 cdot 4) + k cdot (3 cdot (-1) - 1 cdot 4)
Simplificando:
a times b = i cdot (0 + 2) - j cdot (0 - 8) + k cdot (-3 - 4)
a times b = 2i + 8j - 7k

Passo 4

Agora, vamos achar o módulo desse vetor resultante para descobrir a área:
|a times b| = raiz(2)^2 + (8)^2 + (-7)^2 = raiz4 + 64 + 49 = raiz117
Podemos simplificar raiz117 para 3raiz13 se quiser uma forma mais simplificada.

Resposta

A área do paralelogramo é raiz117 unidades quadradas, ou simplificando, 3raiz13 unidades².

Exercícios relacionados