Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo definido por dois vetores, que aqui são e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área desse paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área de um paralelogramo formado por dois vetores e é igual ao módulo (ou tamanho) do produto vetorial desses vetores. A fórmula fica assim:
O produto vetorial gera um novo vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor representa a área que a gente quer encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Para isso, usamos a regra do determinante:
Resolvendo o determinante:
a times b = i cdot (1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) - j cdot (3 cdot 0 - 2 cdot 4) + k cdot (3 cdot (-1) - 1 cdot 4)
Simplificando:
a times b = i cdot (0 + 2) - j cdot (0 - 8) + k cdot (-3 - 4)
a times b = 2i + 8j - 7k
Passo 4
Agora, vamos achar o módulo desse vetor resultante para descobrir a área: