Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por
. Quaisquer que sejam os vetores
e
,
a) prove que
.
a) prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão com vetores:
e precisa mostrar que isso é igual a
. Isso envolve os conceitos de produto vetorial (
) e produto escalar (
) da matéria de Álgebra Vetorial. Pra resolver, vamos usar as definições desses produtos e algumas propriedades básicas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
resulta em um vetor que é perpendicular aos dois, e sua magnitude é dado por
, onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, o produto escalar entre dois vetores dá um número (escalar) que é o produto das magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles:
.
Passo 4
Vamos calcular
. Primeiro, fazemos o produto vetorial
, que resulta num vetor perpendicular a
e
. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com
.
Passo 5
Do outro lado,
envolve primeiro o produto vetorial
, dando um vetor perpendicular a
e
, e depois o produto escalar desse vetor com
.
Passo 6
Para provar que são iguais, vamos usar a propriedade comutativa do determinante, que está por trás dos produtos vetoriais e escalares. Basicamente, o determinante que representa
é o mesmo que o determinante representando
, independentemente da ordem.
Passo 7
Outra maneira é usar as coordenadas dos vetores. Suponha que
,
e
. Calculando ambos os lados, você verá que as expressões resultantes são iguais após simplificação.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.