Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por (A times B) cdot C. Quaisquer que sejam os vetores A, B e C,
a) prove que (A times B) cdot C=A cdot(B times C).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão com vetores: (A times B) cdot C e precisa mostrar que isso é igual a A cdot (B times C). Isso envolve os conceitos de produto vetorial ( times) e produto escalar ( cdot) da matéria de Álgebra Vetorial. Pra resolver, vamos usar as definições desses produtos e algumas propriedades básicas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores A e B resulta em um vetor que é perpendicular aos dois, e sua magnitude é dado por |A times B| = |A||B|sin(theta), onde theta é o ângulo entre A e B.

Passo 3

Agora, o produto escalar entre dois vetores dá um número (escalar) que é o produto das magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles: A cdot B = |A||B|cos(theta).

Passo 4

Vamos calcular (A times B) cdot C. Primeiro, fazemos o produto vetorial A times B, que resulta num vetor perpendicular a A e B. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com C.

Passo 5

Do outro lado, A cdot (B times C) envolve primeiro o produto vetorial B times C, dando um vetor perpendicular a B e C, e depois o produto escalar desse vetor com A.

Passo 6

Para provar que são iguais, vamos usar a propriedade comutativa do determinante, que está por trás dos produtos vetoriais e escalares. Basicamente, o determinante que representa (A times B) cdot C é o mesmo que o determinante representando A cdot (B times C), independentemente da ordem.

Passo 7

Outra maneira é usar as coordenadas dos vetores. Suponha que A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) e C = (c1, c2, c3). Calculando ambos os lados, você verá que as expressões resultantes são iguais após simplificação.

Resposta

Portanto, demonstramos que (A times B) cdot C = A cdot (B times C).

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