Calcular a área da parte da esfera esfera
delimitada pelos planos
e
Passo 1
Vamos calcular a área da parte da esfera definida pela equação
que está limitada pelos planos
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente integração em coordenadas esféricas, que nos ajudam a encontrar áreas de superfícies em 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera
. Essa é uma esfera com centro na origem e raio
(já que
).
Passo 3
Agora, precisamos identificar as regiões da esfera delimitadas pelos planos
e
. O plano
é o plano xy, e
é um plano que corta a esfera formando um ângulo de 45 graus com o eixo y.
Passo 4
Para calcular a área, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui,
é o ângulo polar (0 ≤
≤
) e
é o ângulo azimutal (0 ≤
<
).
Passo 5
A fórmula para a área superficial em coordenadas esféricas é:
Precisamos determinar os limites de integração para
e
que correspondem à região limitada pelos planos
e
.
Passo 6
O plano
corresponde a
e
, enquanto
corresponde a
e
. Porém, como estamos considerando apenas a parte da esfera onde
, os limites de
vão de
a
.
Passo 7
Para
, já que não há restrição vertical além da esfera, ela varia de
a
. Portanto, nossos limites de integração são:
Passo 8
Substituindo os limites na fórmula da área:
Resposta
A área da parte da esfera delimitada pelos planos
e
é
unidades de área.