Calcular a área da parte da esfera esfera x^2+y^2+z^2=16 delimitada pelos planos y=0 e y=x

Passo 1

Vamos calcular a área da parte da esfera definida pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 16 que está limitada pelos planos y = 0 e y = x . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente integração em coordenadas esféricas, que nos ajudam a encontrar áreas de superfícies em 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 . Essa é uma esfera com centro na origem e raio R = 4 (já que R = raiz16 = 4 ).

Passo 3

Agora, precisamos identificar as regiões da esfera delimitadas pelos planos y = 0 e y = x . O plano y = 0 é o plano xy, e y = x é um plano que corta a esfera formando um ângulo de 45 graus com o eixo y.

Passo 4

Para calcular a área, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = R sinphi costheta
y = R sinphi sintheta
z = R cosphi
Aqui, phi é o ângulo polar (0 ≤ phi pi ) e theta é o ângulo azimutal (0 ≤ theta < 2pi ).

Passo 5

A fórmula para a área superficial em coordenadas esféricas é:
A = R^2 integral integral sinphi , dphi , dtheta
Precisamos determinar os limites de integração para phi e theta que correspondem à região limitada pelos planos y = 0 e y = x .

Passo 6

O plano y = 0 corresponde a theta = 0 e theta = pi , enquanto y = x corresponde a theta = pi4 e theta = 5pi4 . Porém, como estamos considerando apenas a parte da esfera onde y >= 0 , os limites de theta vão de 0 a pi4 .

Passo 7

Para phi , já que não há restrição vertical além da esfera, ela varia de 0 a pi . Portanto, nossos limites de integração são:
0 <= theta <= pi4
0 <= phi <= pi

Passo 8

Substituindo os limites na fórmula da área:
A = 4^2 integral0^pi4 integral0^pi sinphi , dphi , dtheta
A = 16 integral0^pi4 [ -cosphi ]0^pi dtheta
A = 16 integral0^pi4 ( -cospi + cos0 ) dtheta
A = 16 integral0^pi4 ( -(-1) + 1 ) dtheta
A = 16 integral0^pi4 2 , dtheta
A = 32 integral0^pi4 dtheta
A = 32 [ theta ]0^pi4
A = 32 ( pi4 - 0 )
A = 8pi

Resposta

A área da parte da esfera delimitada pelos planos y = 0 e y = x é 8pi unidades de área.

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