Determinar o fluxo do campo vetorial f=(0, z, 2y) através da superfície exterior do sólido x^2+y^2 <= 16,0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o fluxo do campo vetorial f=(0, z, 2y) através da superfície externa de um sólido definido por x^2+y^2 <= 16 e 0 <= z <= 2. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial e como aplicar o teorema da divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “força” do campo passa por essa superfície. Já o teorema da divergência nos ajuda a calcular esse fluxo de uma forma mais fácil, transformando uma integral de superfície em uma integral de volume.

Passo 3

O teorema da divergência diz que:
integral duplapartial V f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot f , dV
Isso significa que o fluxo através da superfície partial V é igual à integral do divergente de f sobre o volume V.

Passo 4

Então, vamos calcular a divergente de f. A divergente de um campo vetorial f = (fx, fy, fz) é dada por:
nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
Para nosso campo f = (0, z, 2y), temos:
partial fxpartial x = partial 0partial x = 0
partial fypartial y = partial zpartial y = 0
partial fzpartial z = partial 2ypartial z = 0
Então:
nabla cdot f = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teorema da divergência. Como a divergente é zero, a integral de volume também será zero:
integral triplaV nabla cdot f , dV = integral triplaV 0 , dV = 0
Portanto, o fluxo através da superfície externa do sólido também será zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial f=(0, z, 2y) através da superfície externa do sólido é 0.

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