Determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície exterior do sólido
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície externa de um sólido definido por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial e como aplicar o teorema da divergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “força” do campo passa por essa superfície. Já o teorema da divergência nos ajuda a calcular esse fluxo de uma forma mais fácil, transformando uma integral de superfície em uma integral de volume.
Passo 3
O teorema da divergência diz que:
Isso significa que o fluxo através da superfície
é igual à integral do divergente de
sobre o volume
.
Passo 4
Então, vamos calcular a divergente de
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
Para nosso campo
, temos:
Então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teorema da divergência. Como a divergente é zero, a integral de volume também será zero:
Portanto, o fluxo através da superfície externa do sólido também será zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície externa do sólido é 0.