Parametrizar a superfície
abaixo do plano
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa parametrizar a superfície definida pela equação
que está abaixo do plano
. Isso envolve entender um pouco de geometria de superfícies e coordernadas polares para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da superfície mais simples de trabalhar. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso descreve um paraboloide que abre para cima.
Passo 3
Como queremos a parte dessa superfície que está abaixo do plano
, precisamos encontrar onde
. Substituindo na equação, temos
. Isso significa que estamos trabalhando dentro de um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 4
Para parametrizar, é legal usar coordenadas polares porque a simetria circular facilita. Vamos definir:
Onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação da superfície para encontrar
:
Lembrando que
.
Passo 6
Por último, definimos os limites para os parâmetros:
-
varia de 0 a 1, já que . -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
Resposta
Uma parametrização da superfície é:
com
e
.