Parametrizar a superfície x^2+y^2-z=0 abaixo do plano z=1

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa parametrizar a superfície definida pela equação x^2 + y^2 - z = 0 que está abaixo do plano z = 1. Isso envolve entender um pouco de geometria de superfícies e coordernadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da superfície mais simples de trabalhar. A equação x^2 + y^2 - z = 0 pode ser rearranjada para z = x^2 + y^2. Isso descreve um paraboloide que abre para cima.

Passo 3

Como queremos a parte dessa superfície que está abaixo do plano z = 1, precisamos encontrar onde z <= 1. Substituindo na equação, temos x^2 + y^2 <= 1. Isso significa que estamos trabalhando dentro de um círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 4

Para parametrizar, é legal usar coordenadas polares porque a simetria circular facilita. Vamos definir:
x = r cos theta
y = r sin theta
Onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo.

Passo 5

Agora, substituímos x e y na equação da superfície para encontrar z:
z = x^2 + y^2 = (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Lembrando que cos^2 theta + sin^2 theta = 1.

Passo 6

Por último, definimos os limites para os parâmetros:
  • r varia de 0 a 1, já que x^2 + y^2 <= 1.
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Resposta

Uma parametrização da superfície é:
r(r, theta) = ( r cos theta, r sin theta, r^2 )
com 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi.

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