Use o teorema de Stokes para determinar a integral
, onde
é o perímetro do retângulo
e
no sentido anti- horário
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
é o perímetro de um retângulo definido por
,
e
. O Teorema de Stokes conecta integrais de linha com integrais de superfície, então vamos precisar entender um pouco sobre isso para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que a integral de uma forma diferencial ao longo de uma curva fechada
é igual à integral da rotacional dessa forma sobre uma superfície
que tem
como bordo. Matematicamente, isso fica:
Aqui,
é o campo vetorial dado, e
é a rotacional de
.
Passo 3
Vamos identificar o nosso campo vetorial
. Na questão, temos:
Agora, precisamos calcular a rotacional desse campo, que é dada por:
Vamos calcular cada componente:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Então, a rotacional fica:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda é a curva
. Como
é o perímetro de um retângulo no plano
, a superfície natural para escolher é justamente esse retângulo no plano
.
A orientação da superfície deve ser compatível com a orientação da curva. Como a curva é percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima (no sentido positivo de
), a orientação da superfície será na direção positiva de
.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície
no plano
. Podemos usar
e
como parâmetros:
Onde
e
.
O elemento de área é:
Como a superfície está no plano
, o vetor normal
é
. Portanto:
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo
e
:
Passo 6
Perceba que o integrando ficou zero:
Isso significa que a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral
vale 0.