Use o teorema de Stokes para determinar a integral ointC x dx+y dy+z x dz, onde C é o perímetro do retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 4 e z=4 no sentido anti- horário

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ointC x , dx + y , dy + z x , dz, onde C é o perímetro de um retângulo definido por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 4 e z=4. O Teorema de Stokes conecta integrais de linha com integrais de superfície, então vamos precisar entender um pouco sobre isso para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que a integral de uma forma diferencial ao longo de uma curva fechada C é igual à integral da rotacional dessa forma sobre uma superfície S que tem C como bordo. Matematicamente, isso fica:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Aqui, F é o campo vetorial dado, e nabla times F é a rotacional de F.

Passo 3

Vamos identificar o nosso campo vetorial F. Na questão, temos:
F = lang<= x, y, z x rang<=
Agora, precisamos calcular a rotacional desse campo, que é dada por:
nabla times F = ( partial (z x)partial y - partial ypartial z, partial xpartial z - partial (z x)partial x, partial ypartial x - partial xpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. Para a componente i:
partial (z x)partial y - partial ypartial z = 0 - 0 = 0
  1. Para a componente j:
partial xpartial z - partial (z x)partial x = 0 - z = -z
  1. Para a componente k:
partial ypartial x - partial xpartial y = 0 - 0 = 0
Então, a rotacional fica:
nabla times F = lang<= 0, -z, 0 rang<=

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja borda é a curva C. Como C é o perímetro de um retângulo no plano z=4, a superfície natural para escolher é justamente esse retângulo no plano z=4.
A orientação da superfície deve ser compatível com a orientação da curva. Como a curva é percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima (no sentido positivo de z), a orientação da superfície será na direção positiva de z.

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície S no plano z=4. Podemos usar x e y como parâmetros:
r(x, y) = lang<= x, y, 4 rang<=
Onde 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 4.
O elemento de área é:
dS = n , dA
Como a superfície está no plano z=4, o vetor normal n é lang<= 0, 0, 1 rang<=. Portanto:
dS = lang<= 0, 0, 1 rang<= , dx , dy
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Substituindo nabla times F = lang<= 0, -z, 0 rang<= e dS = lang<= 0, 0, 1 rang<= , dx , dy:
(nabla times F) cdot dS = lang<= 0, -z, 0 rang<= cdot lang<= 0, 0, 1 rang<= , dx , dy = 0 cdot 0 + (-z) cdot 0 + 0 cdot 1 = 0

Passo 6

Perceba que o integrando ficou zero:
integral duplaS 0 , dx , dy = 0
Isso significa que a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral ointC x , dx + y , dy + z x , dz vale 0.

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