Calcular a área da parte da esfera esfera x^2+y^2+z^2=16 interior ao cilindro x^2+y^2=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da parte da esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 16 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 12 . Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas. A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 tem raio 4 (porque 4^2 = 16 ) e está centrada na origem. Já o cilindro x^2 + y^2 = 12 é um cilindro circular reto com raio raiz12 e também está centrado na origem, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo z.

Passo 3

Queremos encontrar a área da parte da esfera que fica dentro desse cilindro. Para isso, precisamos descobrir até onde o cilindro corta a esfera. Vamos encontrar o ponto onde as duas equações se intersectam.

Passo 4

Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
x^2 + y^2 + z^2 = 16 x^2 + y^2 = 12
Subtraindo a segunda equação da primeira:
z^2 = 16 - 12 z^2 = 4 z = pm 2
Então, o cilindro corta a esfera nos planos z = 2 e z = -2 .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da esfera entre z = -2 e z = 2 . A fórmula para a área de uma superfície de revolução (nesse caso, a parte da esfera dentro do cilindro) em coordenadas esféricas é:
A = integral integral dS
Onde dS é o elemento de área na esfera.

Passo 6

Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar a esfera com os ângulos theta (azimutal) e phi (polar):
x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi
Para nossa esfera, r = 4 . O elemento de área é:
dS = r^2 sin phi , dphi , dtheta

Passo 7

Precisamos determinar os limites de integração para phi . Como a interseção ocorre em z = pm 2 , temos:
z = 2 = 4 cos phi cos phi = 24 = 12 phi = pi3
Então, phi varia de 0 a pi3 para a parte acima de z = 2 , e de 2pi3 a pi para a parte abaixo de z = -2 .

Passo 8

A área total dentro do cilindro será duas vezes a área de uma das partes (acima ou abaixo do eixo z):
A = 2 integral0^2pi integral0^pi3 16 sin phi , dphi , dtheta

Passo 9

Vamos integrar primeiro em relação a phi :
integral0^pi3 sin phi , dphi = -cos phi |0^pi3 = -( cos pi3 - cos 0 ) = -( 12 - 1 ) = 12
Então, a integral fica:
A = 2 times 16 times 12 integral0^2pi dtheta = 16 times 2pi = 32pi

Resposta

A área da parte da esfera dentro do cilindro é 32pi unidades quadradas.

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