Calcular a área da parte da esfera esfera interior ao cilindro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da parte da esfera definida por que está dentro do cilindro . Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas. A esfera tem raio (porque ) e está centrada na origem. Já o cilindro é um cilindro circular reto com raio e também está centrado na origem, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo z.
Passo 3
Queremos encontrar a área da parte da esfera que fica dentro desse cilindro. Para isso, precisamos descobrir até onde o cilindro corta a esfera. Vamos encontrar o ponto onde as duas equações se intersectam.
Passo 4
Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então, o cilindro corta a esfera nos planos e .
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da esfera entre e . A fórmula para a área de uma superfície de revolução (nesse caso, a parte da esfera dentro do cilindro) em coordenadas esféricas é:
Onde é o elemento de área na esfera.
Passo 6
Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar a esfera com os ângulos (azimutal) e (polar):
Para nossa esfera, . O elemento de área é:
Passo 7
Precisamos determinar os limites de integração para . Como a interseção ocorre em , temos:
Então, varia de a para a parte acima de , e de a para a parte abaixo de .
Passo 8
A área total dentro do cilindro será duas vezes a área de uma das partes (acima ou abaixo do eixo z):
Passo 9
Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral fica:
A = 2 times 16 times 12 integral0^2pi dtheta = 16 times 2pi = 32pi
Resposta
A área da parte da esfera dentro do cilindro é 32pi unidades quadradas.