(2) (2 pontos) Determine se cada série converge ou diverge. Se ela convergir, calcule a sua soma.
sumn=1^infty 2^n+4^n3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty 2^n + 4^n3^n
Vamos ver se essa série converge (ou seja, se ela chega a um valor específico) ou diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas que estudamos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que podemos separar a soma no numerador:
2^n + 4^n3^n = 2^n3^n + 4^n3^n
Então, nossa série fica:
sumn=1^infty ( 23 )^n + sumn=1^infty ( 43 )^n

Passo 3

Agora, temos duas séries geométricas:
  1. Primeira série:
sumn=1^infty ( 23 )^n
Aqui, a razão é r = 23 . Como |r| = 23 < 1 , essa série converge. A soma de uma série geométrica que começa em n=1 é dada por:
S = a11 - r
Onde a1 = ( 23 ) . Então:
S = 231 - 23 = 2313 = 2
  1. Segunda série:
sumn=1^infty ( 43 )^n
Aqui, a razão é r = 43 . Como |r| = 43 > 1 , essa série diverge. Isso significa que ela não soma a um valor específico, ela cresce sem limites.

Passo 4

Finalmente, para determinar o comportamento da série original, observamos que uma das partes converge (a primeira série) e a outra diverge (a segunda série). Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, o resultado geral é que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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