(2) (2 pontos) Determine se cada série converge ou diverge. Se ela convergir, calcule a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
Vamos ver se essa série converge (ou seja, se ela chega a um valor específico) ou diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas que estudamos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que podemos separar a soma no numerador:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, temos duas séries geométricas:
- Primeira série:
Aqui, a razão é
. Como
, essa série converge. A soma de uma série geométrica que começa em
é dada por:
Onde
. Então:
- Segunda série:
Aqui, a razão é
. Como
, essa série diverge. Isso significa que ela não soma a um valor específico, ela cresce sem limites.
Passo 4
Finalmente, para determinar o comportamento da série original, observamos que uma das partes converge (a primeira série) e a outra diverge (a segunda série). Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, o resultado geral é que a série diverge.
Resposta
A série diverge.