Calcular a área da parte do parabolóide x=y^{2}+z^{2} delimitada pelos planos x=4 \mathrm{e} x=9.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do parabolóide
x = y^2 + z^2
entre os planos x=4 e x=9.
O conteúdo é “área de superfície de gráfico de função” x=f(y,z), usando a fórmula
A = \iint_{D} \sqrt{1 + f_y^2 + f_z^2}\,dA,
onde D é a projeção no plano yz.

Passo 2

Aqui f(y,z)=y^2+z^2. Então
f_y = 2y,\quad f_z = 2z
e
1 + f_y^2 + f_z^2 = 1 + 4y^2 + 4z^2 = 1 + 4r^2,
se r^2 = y^2+z^2. Logo o elemento de área é
\sqrt{1+4r^2}\,dA.

Passo 3

Na projeção sobre yz, a região D é
4 \le y^2+z^2 \le 9
ou seja 2 \le r \le 3, 0\le\theta\le2\pi. Em coordenadas polares dA = r\,dr\,d\theta. Portanto
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{2}^{3} \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{2}^{3} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int r\sqrt{1+4r^2}\,dr, faça u=1+4r^2, du=8r\,dr, logo
\int r\sqrt{1+4r^2}\,dr = \frac{1}{8}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{12}(1+4r^2)^{3/2}.
Avaliado de r=2 a r=3
\int_{2}^{3} r\sqrt{1+4r^2}\,dr = \frac{1}{12}\bigl[(1+4\cdot 3^2)^{3/2} - (1+4\cdot 2^2)^{3/2}\bigr] = \frac{1}{12}\bigl[37^{3/2} - 17^{3/2}\bigr].
Multiplicando por 2\pi,
A = 2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl[37^{3/2}-17^{3/2}\bigr] = \frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-17^{3/2}\bigr).

Resposta

A = \frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2} - 17^{3/2}\bigr).

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