Parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:
x^{2}-4 x+y^{2}+2 y+z^{2}+1=0

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície dada implicitamente por
x^{2}-4x+y^{2}+2y+z^{2}+1=0.
O conteúdo aqui é parametrização de uma esfera em \mathbb{R}^3. Vamos primeiro escrever essa equação na forma padrão de uma esfera, completando quadrados.

Passo 2

Para completar os quadrados em x e y, note que
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,
y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituindo em
x^{2}-4x+y^{2}+2y+z^{2}+1=0
vem
(x-2)^{2}-4 \;+\;(y+1)^{2}-1 \;+\;z^{2}+1=0.
Reagrupando termos, temos
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=4.

Passo 3

A equação
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=4
é a esfera de centro (2,-1,0) e raio 2. Para parametrizá-la, usamos coordenadas esféricas com raio fixo 2.

Passo 4

Em coordenadas esféricas parametrizamos a esfera de raio 2 centrada em (2,-1,0) por
\begin{cases} x(u,v)=2 + 2\sin u\cos v,\\[6pt] y(u,v)=-1 + 2\sin u\sin v,\\[6pt] z(u,v)=2\cos u, \end{cases}
com
u \in [0,\pi], \quad v \in [0,2\pi].]

Resposta

\boxed{ \Phi(u,v)=\bigl(2+2\sin u\cos v,\,-1+2\sin u\sin v,\,2\cos u\bigr), \quad 0\le u\le\pi,\; 0\le v\le2\pi. }

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