Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{x^{2} y}{x^{2}+1} d A, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 0 \leq x \leq 1,-3 \leq y \leq 3\right\},

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{x^{2}y}{x^{2}+1}\,dA,
onde
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 1,\,-3\le y\le 3\}.
O conteúdo aqui é integração dupla sobre retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini, além de observar simetria de função ímpar em y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos como integral iterada:
\iint_{R}\frac{x^{2}y}{x^{2}+1}\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=-3}^{3}\frac{x^{2}y}{x^{2}+1}\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Na integral interna o fator \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1} é constante em y, então
\int_{y=-3}^{3}\frac{x^{2}y}{x^{2}+1}\,dy =\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,\int_{y=-3}^{3}y\,dy.

Passo 4

A função y é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, logo
\int_{y=-3}^{3}y\,dy=0.

Passo 5

Como a integral interna vale zero, toda a integral torna-se
\int_{x=0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\cdot 0\,dx=0.

Resposta

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